Podemos enseñar cálculo sin reales?

Question

Esta pregunta está relacionada con otra pregunta, ¿realmente necesitamos reales?, y podría ser considerado un duplicado, así que no me sorprendería si se pone en espera. Pero estoy especialmente interesado en la enseñanza de los aspectos del problema por lo que les pido en el siguiente formulario.

Una anécdota.

Años atrás, cuando yo era un maestro de la escuela secundaria, yo se utilizan para introducir números reales mostrando primero que $\sqrt{2}$ es irracional y que existen infinitos números algebraicos del mismo tipo. Entonces yo solía añadir (obviamente sin ninguna prueba) que hay otros números, como $\pi, e, 2^{\sqrt{2}}$ ( trascendental) que no son algebraicas. Todas estas nuevas cifras no periódicas de la representación y, sumado a los racionales, forman el conjunto de los números reales.

Para el gusto de la belleza de las matemáticas, entonces me fue utilizado para dibujar la diagonal de Cantor prueba, para demostrar que los números reales son mucho más numeroso que el de los racionales y forman un conjunto denominado continua.

Una vez un estudiante me preguntó si se la trascendental números (como $\pi, e ...$) que hacen que el conjunto de los reales continua. Yo era un poco incómodo y lo pensé durante un rato antes de que me dio una respuesta; por último, la respuesta fue: NO, en realidad no sabemos los números que hacen los reales continua porque los números no son computables. El estudiante estaba un poco sorprendido por la respuesta y comentó que las matemáticas no era un conocimiento exacto como lo esperaba.

Después de ese día yo estaba convencido de que los alumnos tienen que ser expuestas con precaución a los misterios de los números reales.

Ahora la pregunta.

¿Cuál es la mínima extensión del campo racional que tenemos que enseñar (y aprender) el cálculo en un nivel de principiante?

Mi conjetura es que es suficiente un aumento exponencial de la extensión de $\mathbb{E} / \mathbb{A}$ de los números algebraicos campo $\mathbb{A}$ considera como un subcampo de los números complejos $\mathbb{C}$ y construido en Exponencial de la extensión de $\mathbb{Q}$$.

Como se muestra en que post, un campo contables y de todos sus elementos, obviamente, son computables. Hasta donde yo sé, no sabemos si $e$ es un elemento de ese campo, pero sin embargo, si añadimos a $\mathbb{A}$ (posiblemente con algunas otras útiles trascendente números) en el campo, el cierre es de todos modos contables y su exponencial estension es totalmente computable.

Answer 1

Para las nociones básicas del cálculo, tales como las de continuidad y límites, usted no necesita los reales si son felices sustituirlos por algo abstracto. Hay dos formas de hacer esto. Uno es la topología, pero esto es casi seguro que no va a apelar a alguien que no ya sabe lo suficiente de cálculo. El axiomatics de topología permite hablar con rigor de la noción básica de cálculo sin mencionar a los reales. Otra posibilidad es generalizar métrica espacios. Clásicamente un espacio métrico toma valores en los reales, pero se puede sustituir el dólar por lo que se denomina un valor quantale. Este axiomatization es mucho más fácil de digerir, por lo que pueden ser utilizados para introducir métrica espacios sin los reales, y de nuevo introducir la noción común de los cálculos.

Usted es lo que es la mínima extensión de los racionales se necesita para hablar de cálculo. Así, parecería que una propiedad crucial a tener es que sea cual sea la extensión debe ser un completo entramado. Cualquier completar entramado de extensión de los racionales debe contener los reales, por lo que la mínima tales serían los reales.

Answer 2

Sugiero el siguiente conjunto:

Todos los números que se pueden calcular mediante una fórmula que contiene una cantidad finita de:

• Números naturales
• Las operaciones básicas de la aritmética ($+,-,\times,\div$)
• La infinita repetición de operador (por ejemplo, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}$ o $\prod\limits_{n=1}^{\infty}$)

De hecho, sólo se necesita $\left[1,+,-,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\right]$ pero quería mantener la definición anterior sencillo.

En cualquier caso, este conjunto contiene todos los números algebraicos, así como una cantidad infinita de trascendental números (incluyendo $\pi$, $e$, etc).

Estoy bastante seguro de que esta cantidad es contable, ya que estamos utilizando una cantidad finita de símbolos para representar cada elemento en el conjunto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

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ACTUALIZACIÓN

Después de plantear una pregunta relacionada con el, me he dado cuenta de que tal juego ya ha sido definido (el crédito va a un comentario de @PeterFranek).

Es el conjunto de números computables, que contiene muchos de los específicos de los números reales que aparecen en la práctica, incluyendo todos los números algebraicos, así como $e$, $\pi$, y muchos otros trascendental números.

Usted puede querer centrarse en la sección que se refiere más bien la cuestión filosófica de si o no el computables números pueden ser usados en lugar de los números reales.

Answer 3

Es posible enseñar una forma de cálculo diferencial totalmente de manera algebraica. Para las funciones de $f, g$ de una variable define de la siguiente manera:

Deje $x'=1$ ($f(x)=x$)

e imponer la linealidad de modo que $(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$

Y el producto de la regla de $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

La dificultad aquí es en lo que es útil, porque no hay ninguna interpretación natural (gradiant de la gráfica) a mano. [También es importante asegurarse de que la definición es consistente, por ejemplo, si $h=fg=de$, a continuación, los dos productos dan el mismo resultado.]

Es bastante fácil demostrar que esta va a detectar el doble de raíces de un polinomio. También es posible demostrar que el $f(x)$ es monótona cerca de $x$ al $f'(x) \neq 0$, y que puedes recuperar un polinomio a partir de sus derivados (Serie de Taylor).

Pero este algebraicas definición de trata de falta de motivación, y por lo general aparece más tarde en el desarrollo matemático cuando la motivación es más clara.