Suma de los primeros números triangulares $n$ - inducción

Question

Pregunta:

Demostrar por inducción matemática que $$(1)+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$ $ es verdadera para todos los enteros positivos n.

Tentativa:

¿Hice el los pasos de inducción y me levanté aquí: %#% $ de #% dónde ir desde aquí?

Muchas gracias.

Answer 1

Lo que he hecho hasta este punto es utilizar su hipótesis de inducción a decir que

$$(1)+(1+2)+\ldots+(1+2+\ldots+n)+\big(1+2+\ldots+n+(n+1)\big)$$

es igual a

$$\frac16n(n+1)(n+2)+\big(1+2+\ldots+n+(n+1)\big)\;.$$

Para finalizar la inducción paso usted debe demostrar que esta cantidad es igual a

$$\frac16(n+1)(n+2)(n+3)\;,$$

es decir, que

$$\frac16n(n+1)(n+2)+\big(1+2+\ldots+n+(n+1)\big)=\frac16(n+1)(n+2)(n+3)\;.\tag{1}$$

Con el fin de hacer esto, usted necesita una buena forma cerrada para el término

$$1+2+\ldots+n+(n+1)\;.$$

Estoy seguro de que en este punto usted ha aprendido una forma cerrada para la suma de los primeros a $m$ enteros consecutivos; sustituir (con $m=n+1$) $1+2+\ldots+n+(n+1)$ en el lado izquierdo de $(1)$, y hacer algo de álgebra para demostrar que la cantidad en el lado izquierdo, a continuación, realmente simplificar la cantidad en la mano derecha.

Answer 2

$$\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+(1+2+3+\cdots+n+1)=$$

$$=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=$$ $$=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+\frac{3(n+1)(n+2)}{6}=$$

$$=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)$$

Answer 3

Usted puede utilizar anidada dos inducciones.

Con el fin de mostrar la igualdad de $\forall n, 1 + (1+2) + (1+2+3) + \ldots (1+2+\ldots+n) = \frac 1 6 n (n+1) (n+2)$, comprobar que es cierto para $n=1$, y a continuación, a la izquierda para mostrar la igualdad de $\forall n, \frac 1 6 n (n+1) (n+2) + (1+2+ \ldots+n+(n+1)) = \frac 1 6 (n+1) (n+2) (n+3)$, que puede ser simplificado a $\forall n, (1+2+ \ldots +n+(n+1)) = \frac 1 6 (n+1) (n+2) [(n+3)-n] = \frac 1 2 (n+1) (n+2) $.

Ahora, el uso de la inducción de nuevo para probar esto. Comprobar que es cierto para $n=1$, y están a la izquierda para mostrar la igualdad de $\forall n, \frac 1 2 (n+1)(n+2) + (n+2) = \frac 1 2 (n+2)(n+3)$. Que debe ser algo sencillo de probar.

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Alternativamente se puede utilizar un único fuerte de inducción : comprobar que es cierto para $n=0,1$, y para $n\ge 1$, asumir la igualdad es verdadera para$n-1$$n$, y mostrar lo que es cierto para $n+1$, mediante el uso de $1 + (1+2) + (1+2+3) + \dots + (1+2+\ldots n+1) = 2*(1 + (1+2) + \ldots (1+2+\ldots + n)) - (1+(1+2) + \ldots + (1+2+\ldots +(n-1)) + (n+1)$. Reemplace todo el mundo con el correspondiente $\frac 1 6 k(k+1)(k+2)$, y, a continuación, debería ser sencillo.

Answer 4

La ecuación general para su expresión es de $$ S= \sum_{k=1}^{n}k(n-k+1)=n \sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2 +\sum_{k=1}^{n}k $$

lo que usted necesita saber aquí se $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Usted no necesita de inducción para probar estos, usted puede usar el método de perturbación de la de $\mathit{Concrete \ Mathematics}$, Capítulo 2. Voy a hacer la primera suma, el segundo es similar.

$$ S_n +(n+1^2)=\sum_{k=1}^{n}k^2 + (n+1)^2 = 1 + \sum_{k=1}^{n}(k+1)^2 = 1+ S_n +2 \sum_{k=1}^{n}k+n $$ Por lo tanto el $S_n$ cancelar, y se obtiene la forma cerrada de expresión para $\sum_{k=1}^{n}k$

Una vez que se obtienen estos, el resto es muy fácil:

$$ S= \frac{n^2(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$