Elementos diagonales de la matriz de correlación invertida

Question

¿Es cierto que los elementos diagonales de la matriz de correlación invertida serán siempre mayores que 1? ¿Por qué?

Answer 1

Sí, es cierto: los elementos diagonales nunca pueden ser menores que la unidad.

Permutando el orden de las variables, se puede hacer que cualquier elemento diagonal aparezca en la esquina superior izquierda, por lo que basta con estudiar ese elemento. La afirmación es trivial para $n=1$ . Para $n\gt 1$ , cualquier $n$ por $n$ La matriz de correlación puede escribirse en forma de bloque como

$$\mathbb C = \pmatrix{ 1 & \mathbf {\vec e} \\ \mathbf e &\mathbb D}$$

donde $\mathbb D$ es la matriz de correlación de las variables $2, 3, \ldots, n$ y $\mathbf {\vec e}$ es la transposición del vector columna $\mathbf e$ que contiene las correlaciones entre la primera variable y las restantes.

Supongamos por el momento que $\mathbb C$ es invertible. En Regla de Cramer la esquina superior izquierda de su inversa es

$$\left(\mathbb C^{-1}\right)_{11} = \det \mathbb D / \det \mathbb C.$$

Si podemos demostrar que esta proporción no puede ser inferior a $1$ Hemos terminado. en el caso general (incluso para los singulares $\mathbb C$ ), porque las entradas de la inversa son funciones continuas de $\mathbb C$ y las no invertibles forman un submanifold de dimensión inferior del espacio de todas las $\mathbb C$ .

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El problema se reduce, entonces, a demostrar que Los determinantes de las matrices de correlación invertibles no pueden aumentar a medida que se incrementa el número de variables. Invertibilidad de $\mathbb C$ implica $\mathbb D$ es invertible, lo que permite la reducción de filas para simplificar la fila superior. Esto nos ayudará a relacionar el determinante de $\mathbb C$ a la de $\mathbb D$ . La reducción de esa fila equivale a la multiplicación por la izquierda de la inversa de

$$\mathbb P = \pmatrix{ 1 & \mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1} \\ \mathbf 0 &\mathbf 1_{n-1,n-1}},$$

demostrando que

$$ \mathbb C = \mathbb P\pmatrix{ 1 - \mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1}\, \mathbf e &\mathbf {\vec 0} \\ \mathbf e &\mathbb D}.$$

Al tomar los determinantes se obtiene

$$\det \mathbb C = \det \mathbb P \det \pmatrix{ 1 - \mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1} \,\mathbf e &\mathbf {\vec 0} \\ \mathbf e &\mathbb D} = \left( 1 - \mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1}\, \mathbf e \right)\det \mathbb D$$

porque $\det \mathbb P = \det(1)\det \mathbf{1}_{n-1,n-1}=1$ .

Desde $\mathbb D$ siendo una matriz de correlación invertible por sí misma, es positiva-definida, y $\mathbb C$ es positiva definida, deducimos inmediatamente que

1. $\mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1}\, \mathbf e \ge 0$ .

2. $\det \mathbb D \gt 0$ .

3. $\det \mathbb C \gt 0$ .

Por lo tanto, $1 \ge 1 - \mathbf {\vec e}\,\mathbb D ^{-1}\, \mathbf e \gt 0$ De ahí que $\det \mathbb C \le \det \mathbb D$ , QED .