¿Cómo puedo demostrar esta ecuación trigonométrica con los cuadrados de los senos?

Question

Esta es la ecuación:

$$\sin^2(a+b)+\sin^2(a-b)=1-\cos(2a)\cos(2b)$$

Siguiendo con la ayuda de los comentarios,

$${\left(\sin a \cos b + \cos a \sin b\right)}^2 + {\left(\sin a \cos b - \cos a \sin b\right)}^2$$

$$=\sin^2 a \cos^2b + \cos^2 a \sin^2 b + \sin^2 a \cos^2 b + \cos^2 a \sin^2 b$$

Estoy atascado aquí, ¿cómo puedo proceder? ¿desde aquí?

Editar: de las respuestas entiendo como probar, pero ¿como probar desde donde estoy atascado?

Answer 1

Bien, empecemos la manipulación por el lado izquierdo. Usando la identidad $$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$$ obtenemos $$ \begin{align} \sin^2(a+b)+\sin^2(a-b)&=\frac{1-\cos(2a+2b)}{2}+\frac{1-\cos(2a-2b)}{2}\\ &=1-\frac{1}{2}\bigg[\cos(2a+2b)+\cos(2a-2b)\bigg]\\ &=1-\frac{1}{2}\bigg[(\cos 2a\cos 2b-\sin 2a\sin 2b)\\ &\qquad\qquad\qquad +(\cos 2a\cos 2b+\sin 2a\sin 2b)\bigg]\\ &=1-\frac{1}{2}\bigg[2\cos 2a\cos 2b\bigg]\\ &=1-\cos 2a\cos 2b. \end{align} $$

Answer 2

En el lado izquierdo, tienes $$2s_a^2c_b^2+2c_a^2s_b^2$$ después de la agrupación.

En el lado derecho,

$$1-(c_a^2-s_a^2)(c_b^2-s_b^2)=(c_a^2+s_a^2)(c_b^2+s_b^2)-(c_a^2-s_a^2)(c_b^2-s_b^2)=2s_a^2c_b^2+2c_a^2s_b^2.$$

Answer 3

En el lado derecho tenemos, $$ 1-\cos(2a)\cos(2b) = 1-\cos^2a\cos^2b+\cos^2a\sin^2b+\sin^2a\cos^2b-\sin^2a\sin^2b = (\cos^2a\sin^2b+\sin^2a\cos^2b)+1-\cos^2a+\sin^b\cos^2a-\sin^2a\sin^2b = (\cos^2a\sin^2b+\sin^2a\cos^2b)+\sin^2b\cos^2a+\sin^2a-\sin^2a\sin^2b = 2(\cos^2a\sin^2b+\sin^2a\cos^2b) = LHS $$ Por lo tanto, se ha demostrado

Answer 4

Tenemos $$ \begin{align} \sin^2(a+b)+\sin^2(a-b)&=\frac{1-\cos(2(a+b))}{2}+\frac{1-\cos(2(a-b))}{2}\\ &=1-\frac{\color{red}{\cos(2a+2b)}+\color{blue}{\cos(2a-2b)}}{2}\\ &=1-\frac{\color{red}{\cos 2a\cos 2b-\sin 2a\sin 2b}+ \color{blue}{\cos 2a\cos 2b+\sin 2a\sin 2b}}{2}\\ &=1-\frac{2\cos 2a\cos 2b}{2}\\ &=1-\cos 2a\cos 2b. \end{align} $$

Answer 5

SUGERENCIA:

Utilice Demostrar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$ en

$$\sin^2(A+B)+\sin^2(A-B)=1-\{\cos^2(A+B)-\sin^2(A-B)\}$$