El punto aquí es que cada vez que $H(x) = 0$ si $H$ es lo suficientemente suave, a continuación, localmente alrededor de 0 se ve como una línea que pasa por el origen, por la suposición de que $\nabla H(x) \neq 0$.
Para hacer de este exacto, tome $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$; en el caso de mayores dimensiones es una simple extensión de este argumento. Supongamos $H(x_0) = 0$ $H(x) \neq 0$ en todas las demás. Debido a $H$ es lo suficientemente regular, podemos asumir que este y manejar el caso en general de forma iterativa. Para las pequeñas $\varepsilon > 0$ nos fijamos en
\begin{align}
\int_{\mathbb{R}} \ \varphi(x) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \ \text{d} x \ = \ \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \ \varphi(x) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \text{d} x \ + \ \int_{(x_0 \pm \delta)^C} \ \varphi(x) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \text{d} x.
\end{align}
Aquí, $\delta > 0$ es pequeña parámetro independiente de $\varepsilon$ que será preciso más tarde. Claramente la segunda integral en el lado derecho es acotado por una constante dependiendo $H$ y el de Schwartz norma de $\varphi$. Para estar más seguro, que puede incluso suponer $\varphi$ es de forma compacta compatible.
Queda por ver la primera integral en el lado derecho. Con este fin, hemos Taylor aproximado de la función de prueba para obtener
\begin{align}
\varphi(x) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \ = \ \varphi(x_0)\frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \ + \ \varphi'(x'_x) \cdot (x - x_0) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon}.
\end{align}
Por la presunción de $\nabla H(x_0) \neq 0$, el segundo término en el lado derecho es uniformemente acotada en $\varepsilon$ $x \to x_0$ $H$ y el de Schwartz norma de $\varphi$. Por otro lado, si $\delta$ es elegido convenientemente pequeño, entonces el primer término en el lado izquierdo se ve como una línea a algunos de error dependiendo de las Schwartz norma de $\varphi$. Esto puede ser hecho preciso similar a la de primer orden de aproximación de Taylor para la función de $H$. Poner esto juntos vemos
\begin{align}
\int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \ \varphi(x) \frac{1}{H(x) + i \varepsilon} \ \text{d}x \ = \ \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \ \varphi(x_0) \frac{1}{\nabla H(x_0) \cdot (x-x_0) + i \varepsilon} \ \text{d} x \ + \ C_{H, \| \varphi \|_{\mathcal{S}}}.
\end{align}
Pero la primera integral en el lado derecho se desvanece, ya que es la integral de una función impar acerca de $x_0$ sobre una bola centrada en $x_0$. Este regulariza la parte divergente de la integral y nos deja tomar $\varepsilon \to 0$ para obtener un honesto de distribución. Tenga en cuenta que es en realidad una base de distribución debido a que las estimaciones obtenidas en la regularización de la integral depende sólo de la de Schwartz de datos (y la función de $H$).
