Aquí, por mapas clopen me refiero a una función que mapea un conjunto abierto en un conjunto abierto y un conjunto cerrado en un conjunto cerrado. Decimos que los mapas continuos son los morfismos de la categoría de los espacios topológicos. ¿Pero no es más natural considerar los mapas clopen en lugar de los mapas continuos? Por ejemplo, decimos que los homomorfismos de grupo son los morfismos, y un homomorfismo de grupo $h:G\rightarrow H$ conserva la estructura de grupo de " $G$ " en " $H$ ". Por otro lado, en cierto sentido, un mapa continuo $f:X\rightarrow Y$ conservan la estructura topológica de " $Y$ " en " $X$ ". La dirección está invertida. Me pregunto si hay alguna buena explicación para esto. Gracias.
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Derek Elkins
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Bueno, la razón obvia es que tal definición carecería de las propiedades de los mapas continuos que esperaríamos. Por ejemplo, para el Espacio de Sierpinski que consiste en $\{\bot,\top\}$ con conjuntos abiertos $\{\{\},\{\top\},\{\bot,\top\}\}$ el sólo El "mapa clopen" es la función de identidad. Si definimos mapa continuo como "clopen map" entonces, en este caso, ni siquiera las funciones constantes serían continuas. Aun así, esto te dice que esta es una mala definición de "continuo", pero no cómo podrías ser llevado a la correcta, particularmente sin un momento de perspicacia.
Pero podemos ser más sistemáticos. Para una estructura algebraica, como un grupo, la estructura consiste en una colección de operaciones que operan sobre un conjunto. Por ejemplo, la inversión es una operación unaria de grupo $G \to G$ . Dada una operación $\mathtt{i}_G:G\to G$ y una función $\varphi:G\to H$ que, digamos, es una biyección, entonces una noción muy natural de "preservar" $\mathtt{i}$ es que $\mathtt{i}_G(g) = \varphi^{-1}(\mathtt{i}_H(\varphi(g)))$ lo que lleva claramente a $\varphi(\mathtt{i}_G(g)) = \mathtt{i}_H(\varphi(g))$ que no requiere $\varphi$ para ser una biyección.
La estructura de un espacio topológico $X$ es la topología $\mathcal{T}_X$ que es un subconjunto de $\mathcal{P}(X)$ o, lo que es lo mismo, un subconjunto de $X\to\mathbf{2}$ . Podríamos considerar que cada subconjunto abierto $U_X\in\mathcal{T}_X$ es una "operación", $X \to \mathbf{2}$ . La noción natural es, dada una función $f : X \to Y$ es que una operación se conserva a través de $U_X(x) = U_Y(f(x))$ para un adecuado $U_Y\in\mathcal{T}_Y$ . En particular, esto afirma que dado un subconjunto abierto de $Y$ , $U_Y$ obtenemos un subconjunto abierto de $X$ a través de $U_Y \circ f$ . Ver $U_X$ y $U_Y$ como subconjuntos, la condición de conservación es exactamente esa $f^{-1}(U_Y) = U_X$ . Por supuesto, esto es diferente del caso algebraico, ya que no tenemos un conjunto fijo de operaciones que se mapean rígidamente entre sí. En cualquier caso, el "atraso" no es tan sorprendente cuando se considera la contravarianza de $\mathcal{P}(X)$ (es decir $X \to \mathbf{2}$ ) como un functor en $X$ .
Por supuesto, esto no explica bajo qué operaciones deben cerrarse las topologías.
sq1020
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143
La descripción de la continuidad en términos de preimágenes de conjuntos abiertos/conjuntos cerrados es principalmente de conveniencia computacional. Una definición más intuitiva es que una función $X\xrightarrow{f}Y$ es continuo si mantiene cercanía de puntos a conjuntos en el sentido de que $f(\overline U)\subseteq\overline{f(U)}$ para cualquier $U\subseteq X\xrightarrow{f}Y$ . Aquí $\overline U$ es el cierre de un subconjunto $U\subseteq X$ y consiste en todos los puntos de $X$ que son cerrar a $U$ es decir, una topología sobre un conjunto $X$ puede interpretarse como la especificación de una relación de proximidad (bien comportada) entre puntos de $X$ y subconjuntos de $X$ y continuidad como la preservación de esta relación de proximidad.
Con un poco de reflexión, debería ser fácil ver que las nociones de cerrado y Abrir Los mapas clopen, aunque preservan subconjuntos cerrados o abiertos, no necesariamente preservan la relación de cierre; a la inversa, mantener la relación de cierre no significa que se preserven los conjuntos cerrados o los conjuntos abiertos. Así que, para responder a tu pregunta, no utilizamos mapas clopen porque preservan una estructura diferente de la que intentamos capturar. (De hecho, creo que en este contexto las nociones de abierto y cerrado son un tanto artificiales, quizá simplemente artefactos del intento de describir la relación de cerrazón).
Para abordar la comparación con los grupos, no todas las estructuras están dadas por operaciones, las estructuras también pueden estar dadas por relaciones.
HeinrichD
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199
Porque entonces $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto e^x$ no sería un morfismo (su imagen no es cerrada). Recordemos que casi todas las nociones en matemáticas están motivadas por ejemplos, y esto incluye la definición de una categoría y ejemplos explícitos de categorías. No se trata de jugar con los axiomas, sino de estudiar los ejemplos que realmente interesan. Y una definición de un morfismo de espacios que no incluya la función exponencial no es ciertamente natural.
Otra aproximación a los espacios topológicos la proporcionan los espacios de Kuratowski. Aquí se tiene una relación $x \prec A$ entre puntos $x$ y subconjuntos $A$ del conjunto subyacente, lo que se supone que significa que $x$ se encuentra en el cierre de $A$ . Esta relación $\prec$ tiene que satisfacer algunos axiomas. Entonces, un mapa $f$ es continua si y sólo si preserva esta relación $\prec$ : $$x \prec A \Rightarrow f(x) \prec f(A)$$
También podrías echar un vistazo a los marcos; aquí los morfismos son realmente homomorfismos algebraicos como sugieres. Los marcos y los locales son una generalización de los espacios topológicos. Esto también se llama "topología sin sentido".
Hurkyl
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57397
Construimos una categoría Top cuyas flechas son las funciones continuas porque estamos interesados en estudiar funciones continuas .
La filosofía estructuralista es que "la estructura de ser un espacio topológico" es precisamente lo mismo que "ser un objeto de Top ".
Podemos recuperar la descripción habitual de un espacio topológico (hasta la biyección natural de conjuntos) a partir de la estructura de categoría de Top . Dejemos que $1$ sea el conjunto de un punto, $S$ sea el espacio de Sierpinski, y $u : 1 \to S$ sea la continua cuya imagen es el punto abierto de $S$ .
- El conjunto de puntos de un objeto $X$ es (naturalmente isomorfo a) $\hom(1, X)$
- El conjunto de conjuntos abiertos de un objeto $X$ es (naturalmente isomorfo a) $\hom(X, S)$
- Un punto $f : 1 \to X$ se encuentra en un conjunto abierto $g : X \to S$ si $g \circ f = u$
(nota que $1$ , $S$ y $u$ también puede identificarse a partir de la estructura de la categoría)
Por lo tanto, el "conjunto de puntos" es un functor covariante y el "conjunto de conjuntos abiertos" es un functor contravariante - nosotros realmente debería esperar que un "mapa preservador de la estructura" actúe hacia atrás en los conjuntos abiertos.
Es interesante señalar que $\mathbf{Set}^\text{op}$ la categoría opuesta a los conjuntos, es equivalente a la categoría de álgebras booleanas atómicas completas (y los homomorfismos de celosía que preservan la unión/conjunto) - la equivalencia viene dada por el envío de un conjunto $X$ con su conjunto de poder $\mathcal{P}(X)$ .
Dado que gran parte de nuestra intuición sobre los objetos proviene de los conjuntos, esto sugiere un principio general
- La "estructura covariante" sobre los objetos se parece a las operaciones sobre los puntos
- La "estructura contravariante" de los objetos se parece a las operaciones sobre subconjuntos
Tus ejemplos del álgebra universal están todos expresados en términos de operaciones sobre puntos, por lo que sólo ves que se requieren homomorfismos para preservar la estructura covariante.
Para un ejemplo algebraico con una estructura contravariante importante, está la categoría de anillos locales y homomorfismos locales.
En esta categoría, el ideal maximal único es una parte importante de la estructura de un objeto - y, como se podría esperar, un homomorfismo de anillo $f : R \to S$ es un homomorfismo local si y sólo si $f^{-1}(\mathfrak{m}_S) = \mathfrak{m}_R$ .
(Obsérvese que la definición se presenta a menudo de forma equivalente $f(\mathfrak{m}_R) \subseteq \mathfrak{m}_S$ pero me parece mucho menos intuitivo y más difícil de recordar)
