¿Debo unirme a un grupo o quedarme como individuo?

Question

Acabo de participar en un sorteo y me ha dejado con la duda de si tomé la decisión correcta de entrar en el sorteo como individuo o si debería haber entrado como grupo, y si es así, qué tamaño de grupo habría sido el óptimo.

Para este sorteo mi pareja y yo nos inscribimos a título individual. Ninguna de las dos quería privar a la otra de una plaza si no entraba, pero como yo conseguí una plaza y ella no, y ahora conozco la mecánica del sorteo, me veo obligada a cuestionar nuestras elecciones.

La configuración es la siguiente.

• Un juego tiene 30 plazas para jugadores masculinos y 30 plazas para jugadores femeninos. †
• 100 jugadores se han inscrito en el juego (mitad hombres y mitad mujeres † ), por lo que no todo el mundo puede jugar.
• Los jugadores pueden inscribirse individualmente o en grupo, como una pareja, una familia o una fraternidad de amigos. Nadie puede inscribirse más de una vez.
• A los individuos se les asigna un único número de sorteo. Si una persona es seleccionada antes de que se cubran todas las plazas de su género, entra en el juego; en caso contrario, se le inscribe en una lista de espera.
• A los grupos también se les asigna un único número de sorteo. Si un grupo es seleccionado antes de que se ocupen todas las plazas requeridas para ese grupo, todos entran en el juego; de lo contrario, todos se colocan en una lista de espera.

Por ejemplo, digamos que la distribución es la siguiente:

• 35 Hombre
• 35 Mujer
• 11 parejas (FM)
• 2 fraternidades de cuatro (MFFM)

Esto significa que hay 83 números de sorteo, pero cada sorteo podría asignar 1, dos o 4 plazas, o añadir ese número de jugadores a la lista de espera.

Como individuo, ¿tengo las mismas posibilidades de conseguir una plaza que si me inscribo como pareja? ¿Y si me inscribo como parte de un grupo más grande?

Viéndolo con ingenuidad, supondría que, dado que hay 30 plazas para 50 jugadores de cada sexo, tanto mi pareja como yo tendríamos un 60% de posibilidades de conseguir una plaza, un 36% de posibilidades de que ambos consiguiéramos una plaza y un 16% de posibilidades de que ninguno de los dos consiguiera una plaza.

Más ingenuamente aún, supuse que si nos inscribíamos como pareja, seguiríamos teniendo un 60% de posibilidades de conseguir una plaza, y por tanto un 40% de no conseguirla, pero ¿es eso cierto?

† Esto es una simplificación, el sorteo real también tenía un pequeño número de jugadores y lugares de género neutro.

Answer 1

Personalmente, tienes más posibilidades de conseguir una plaza si te presentas como individuo. Para ver esto, imagina que las otras entradas son fijas, y que introduces dos individuos por separado, o una pareja y un papel en blanco en el sorteo (esto es para mantener el mismo número de cosas en el sorteo, pero si el papel en blanco sale, simplemente se ignora). Ahora ordenamos las cosas en el sorteo, y condicionamos a saber en qué orden se sorteará todo, excepto cuál de esos dos es cada uno (así que sabes las posiciones de los dos papeles relevantes para ti, pero no cuál es cada uno, y sabes la posición de todo lo demás). Ahora bien, dada esta información, y si has entrado como pareja o como individuo, puedes saber si obtienes una plaza en $0$ , $1$ o $2$ de la $2$ posibles acuerdos. Pero este número siempre será al menos tan grande si entras como individuo como si entras como pareja, ya que si cuando se sortea el primer papel (digamos) hay suficiente espacio para una pareja, sin duda hay suficiente espacio para ti como individuo.

edit: El único caso difícil es el siguiente (gracias a ingix por señalarlo). ¿Es posible que el hecho de que uno de vosotros (digamos, el varón) sea elegido en primer lugar impida que el otro sea elegido en segundo lugar, pero debido a que un subconjunto diferente de los grupos sorteados entre los dos recibe plazas, habría pasado como pareja en cualquiera de las dos posiciones? En realidad no es así. Supongamos que de la primera ponencia uno de vosotros consigue plaza como hombre individual. Para que esto cambie los grupos que pasan entre los dos papeles, tiene que haber un grupo que hubiera pasado si el primer papel hubiera estado en blanco, pero que no lo hizo porque tú cogiste una plaza masculina extra. En ese caso, si ese grupo pasara, utilizaría la última plaza masculina, por lo que no pasaríais como pareja.

De este modo, tendrá al menos la misma probabilidad de obtener una plaza que un individuo. Siempre que haya personas que entren como individuales, hay algunas disposiciones de las otras en las que te va estrictamente mejor como individual.

Para las entradas de ejemplo que sugieres, escribí un programa en python para simular el sorteo. Sugiere que los individuos tienen aproximadamente un $61.5\%$ azar, las parejas $56.8\%$ y los grupos más grandes $55.9\%$ (basado en un millón de carreras).

from random import shuffle

draw=[(0,1)]*35+[(1,0)]*35+[(1,1)]*11+[(2,2)]*2
success={(0,1):0,(1,0):0,(1,1):0,(2,2):0}
runs=1000000
for i in range(runs):
    shuffle(draw)
    m,f=0,0
    for x in draw:
        if x[0]+m<=30 and x[1]+f<=30:
            m+=x[0]
            f+=x[1]
            success[x]+=1
for x in success:
    print("{}\t{:.1f}".format(x,100*success[x]/(draw.count(x)*runs)))