Órbitas de la acción de % de $\text{SL}(n,\mathcal{O}_K)$$\mathbb{P}^{n-1}(K)$para un campo número $K$.

Question

Estaba leyendo algunas notas de Keith Conrad donde demuestra que el número de órbitas de la $\text{SL}(2,\mathcal{O}_K)$-acción en $\mathbb{P}^{1}(K)$ para un campo de número de $K$ es precisamente la clase de número de $K$.

Me pregunto si existe algún tipo de "orden superior" de la aritmética información que se encuentra en mirar el número de órbitas de la $\text{SL}(n,\mathcal{O}_K)$-acción en $\mathbb{P}^{n-1}(K)$ $n>2$ (o incluso en mayor Grassmannians $\text{Gr}(r,K^{n})$, pero no vamos a conseguir demasiado loco por ahora). Como primera pregunta, es que estos números incluso ser finita para todas las $n$?

Para $K=\mathbb{Q}$, creo que uno puede utilizar un generalizada algoritmo de Euclides para mostrar que la acción anterior es transitiva de todas las $n$, al menos para los espacios proyectivos $\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q})$, pero no estoy seguro de si uno puede adaptar este argumento para trabajar incluso para $\mathcal{O}_K$ que son Ufd pero no Euclidiana.

¿Alguien sabe de alguna referencia sobre esta cuestión?

Answer 1

En primer lugar, estoy un poco nervioso acerca de que la afirmación de ser la correcta, debido a las distinciones acerca de "estrecho grupo de clase", y así sucesivamente, pero no quiero pensar en ello...

La correspondiente leyenda es "Steinitz Teorema", la generalización de la estructura teorema de finitely generada por los módulos a través de la directora ideal dominios a finitely generada por los módulos a través de los dominios de Dedekind $\mathfrak o$: entre otras cosas, las torsiones son de la forma $\mathfrak o\oplus\ldots\oplus \mathfrak o\oplus \mathfrak a$ por algún ideal $\mathfrak a$$\mathfrak o$. Y subsidiaria puntos como $\mathfrak a\oplus \mathfrak b\approx \mathfrak o\oplus \mathfrak a\mathfrak b$.

El $SL_n(\mathfrak o)$ o $GL_n(\mathfrak o)$ acción es sólo un cambio de base.