Definir la existencia de un elemento no algebraico en el % de lenguaje $L:= \{0,1,+,\cdot\}$

Question

Levanto la siguiente pregunta después de leer este post.

Es posible que en el lenguaje de $L:= \{0,1,+,\cdot\}$ a escribir oraciones para que un modelo necesariamente contener una copia de $\mathbb Q$ y no algebraicas elemento?

Si sí, ¿qué es este conjunto de oraciones? Si no puede proporcionar una prueba?

Gracias.

He añadido la palabra, necesariamente, precisa de la pregunta.

Answer 1

Si lo entiendo correctamente, usted está pidiendo una $L$-teoría de la $T$, presumiblemente, la ampliación de la teoría de los campos, de tal forma que cada modelo de $T$ es de carácter $0$ y por lo tanto, contiene $\mathbb{Q}$ (esto es fácil) y contiene un elemento trascendental (esto es más difícil).

Hay teorías, pero el análisis de ellos requiere una gran cantidad de algebraica de trabajo. Como un ejemplo concreto, vamos a $R$ ser el verdadero cierre de $\mathbb{Q}$ (sus elementos son los números reales que son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$). Ahora considere el $R(t)$, el campo obtenidos por contigua a una trascendental $t$. Es un hecho que el $R$ es definible en $R(t)$. Es decir, hay un primer orden de la fórmula $\varphi_R(x)$ en el idioma de los campos tal que para todo $a\in R(t)$, $R(t)\models\varphi_R(a)$ si y sólo si $a\in R$.

Incluso se puede escribir la fórmula explícita: $\exists y\, 1+x^4 = y^2$. Para una prueba de que esto funciona, consulte la Proposición 3.3 en este libro, señalando que cada verdadero campo cerrado es de Pitágoras (cada suma de dos cuadrados es no negativo, por lo tanto es un cuadrado) de la característica $0$.

Ahora vamos a $T = \text{Th}(R(t))$. $T$ expresa los siguientes:

1. El conjunto de todos los elementos de la satisfacción de $\varphi_R$ es un subcampo que es real cerrada.
2. Hay algún elemento que no cumplan $\varphi_R$.
3. Para cada polinomio $p(x)$ grado $d$ con coeficientes de satisfacer $\varphi_R$ si $a$ no satisface $\varphi_R$, $a$ no es una raíz de $p$ (esto es debido a que $R$ es relativamente algebraicamente cerrado en $R(t)$).

Por lo que cualquier modelo de $K\models T$ tiene un subcampo $\varphi_R(K)$ que es real cerrada, y por lo tanto, contiene $\mathbb{Q}$, pero $K$ también contiene elementos que no son algebraicos sobre $\varphi_R(K)$, y por lo tanto no son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Aquí hay otro ejemplo, similar a lo que Alex le dio.

Deje $T$ ser la teoría de los campos de la afirmación de que todo polinomio no constante con coeficientes en $\mathbb{Z}$ tiene una raíz, que la charactersitic es cero, y que no cada elemento tiene una raíz cuadrada. Esta teoría es finitely conste: simplemente la selección de un campo finito de gran característica que contiene las raíces de cualquier colección de polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}$, asegurándose de que la característica también es mayor que los valores absolutos de estos coeficientes.

Cada modelo de esta teoría contendrá $\mathbb{Q}$, ya que será un campo de característica cero. También contendrá el algebraicas clousre de $\mathbb{Q}$, ya que cada polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz. Sin embargo, el campo debe ser más grande que eso, ya que no cada elemento tiene una raíz cuadrada.