¿Por qué se define producto vacío $1$?

Question

Por ejemplo $\prod_{2 \le j < 1} 2^j= 1.$ ¿que pasa?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i=a$ y $\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}a_i = \frac a{a_n}$. Ahora tenga en cuenta que $\displaystyle\prod_{i=1}^1 a=a$, que $\displaystyle\prod_{i=1}^0a=1$.

Answer 2

Cada producto debe comenzar con $1$. Por ejemplo, $$\prod_{i=1}^2a_i:=1\cdot a_1\cdot a_2$$ Este modo de pensar al menos hace el vacío producto naturalmente el trabajo a $1$. Pero es más que eso. Si usted piensa que los anteriores en la forma habitual como $a_1\cdot a_2$,entonces realmente no es simétrica. Se lee que usted comenzó con el objeto de $a_1$, y luego llevados en la operación "$\cdot a_2$". Si usted comienza con $1$, entonces usted está trayendo en tanto los factores como las operaciones de: "$\cdot a_1$" y "$\cdot a_2$". Podría decirse que esto es más simétrica. (Del mismo modo, definen $\sum_{i=1}^na_i:=0\;\overbrace{{}+a_1}\;\overbrace{{}+a_2}\;+\cdots$.)

Answer 3

Alex R. y Asaf Karagila señalaron que encaja bien con la identidad habitual. Esto podría ser un refinamiento más estructural del argumento:

Para cualquier conjunto de factores $A$ tienes la identidad $A ∪ ∅ = A$.

Quieres tener $\prod_{a ∈ A} f_a · \prod_{b ∈ B} f_b = \prod_{x ∈ A ∪ B} f_x$. Necesita el tiempo habitual de razonamiento con División productos y tal. Definir el producto vacío para producir el elemento neutral con respecto a la multiplicación guarda esto.

Answer 4

La suma vacía es cero.

El producto vacío es uno.

Tenga en cuenta que $0+x = x$ % todo $x$y $1\cdot x=x$ % todo $x$, para que sean los correspondientes valores eso no cambia el suma o producto final.

Answer 5

Es una definición respetuosa de descomponer el producto en trozos, al igual que decir $1=1+0$. Por ejemplo, tienes que $\prod_{j=1}^n a_j = (a_j \prod_{j=1}^n) (\prod_ {j\in\ {\phi\}} a_j) = \prod_ {j = 1} ^ n a_j$. Similarly, the empty sum $\sum_{2 < j < 1}a_j=0$ so that linaerity is preserved: $\sum_{j=1}^n a_j=\sum_{j=1}^na_j+\sum_{j\in\{\phi\}}a_j$. This is particularly useful since products and sums are indexed $by$ some variable $j$ taking values from an index set $A$, and the empty set is always an element of $A$. In particular, you can break down a product into $A=B\cup C$, so that $\prod_{j\in A} a_j = \prod_ {j\in B} a_j\prod_ {j\in c} a_ j$. Thus the only answer is $\prod_{j\in\{\phi\}}a_j=1$