Distribución de derivados

Question

Que $f$ ser una distribución en $\mathbf{R}^n$ (en el sentido de Schwartz) tal que $$\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0 \text{ for $ i = 1, \ldots, n $.}$ $

¿Cómo probar que $f$ es una constante? Tenía este ejercicio en una clase el año pasado pero no pude encontrar cómo hacer el paso de inducción (para $n = 1$ es claro por supuesto).

Answer 1

Para $\partial f/\partial x_i$ a desaparecer, a continuación, $f$ tiene que desaparecer en el espacio de funciones de prueba de la forma $\partial \phi_i/\partial x_i$. Efectivamente necesita mostrar el subespacio generado por todos estos (como $i$ varía) es de codimension uno en $C_c(\mathbb{R}^n)$. Este subespacio tiene que ser el espacio de todas las funciones de prueba de la integración de cero. Para ir de $n-1$ $n$, tomar una prueba de función $\phi$ integral $0$ y dejar $\psi(x_1,\ldots,x_{n-1})=\int\phi(x_1,\ldots,x_n)dx_n$. A continuación, $\psi$ es una prueba de la función en $\mathbb{R}^{n-1}$ con la forma de $0$, por lo que es una suma de funciones $\partial \psi_i/\partial x_i$ cuando la $\psi_i$ son de prueba funciones en $\mathbb{R}^{n-1}$. Extender a funciones de prueba $\phi_i$ $\mathbb{R}^n$ dejando que $\phi_i(x_1,\ldots,x_n) =\psi_i(x_1,\ldots,x_{n-1})h(x_n)$ where $h$ es un fijo de rugosidad de la función con la forma de $1$. A continuación, $\psi-\sum\partial\phi_i/\partial x_i$ tiene cero integral a lo largo de todas las líneas en el $x_n$-dirección, así es el $x_n$-derivada parcial de una función de prueba.

Agregó Debo añadir que el anterior es, efectivamente, la prueba de que $H_c^n(\mathbb{R}^n)=\mathbb{R}$ donde $H_c^*$ denota de Rham cohomology con compact es compatible.

Answer 2

Si $f(x)$ es una función uniforme, se obtiene que el $f(x)$ es constante relativamente fácil como en Shai Covo del comentario. Para una distribución general, uno puede convolución con aproximaciones a la identidad: Vamos a $\phi(x)$ ser un fijo función suave con soporte compacto, y deje $\phi_k(x) = k^n\phi(kx)$.

Recuerdan $f \ast \phi_k$ es una función suave (la integral de la $<f, \phi_y>$ con respecto al $y$ donde $\phi_y$ es el traducir de $\phi$$y$) y se define por $<f \ast \phi_k, s> = <f(x) , s \ast \phi_k(x)>$ $C_c(R^n)$ funciones $s(x)$. Desde $s \ast \phi_k(x)$ converge a $s(x)$ de manera uniforme, con la misma tenencia de propiedad para los derivados de $s(x)$, $f \ast \phi_k$ converge a $f$ como distribuciones.

Pero cada una de las $f \ast \phi_k(x)$ es una función suave, y $<f \ast \phi_k, \partial_i s(x)>$ $=$ $<f(x), \partial_i s \ast \phi_k(x)>$ $=$ $<f(x), \partial_i (s \ast \phi_k(x))>$ $= 0$ por supuesto. Por lo tanto, por la función suave caso de $f \ast \phi_k(x)$ es una constante. Por lo tanto $f(x)$ es el límite de distribución de constantes y debe ser constante en sí.

Answer 3

Supongamos que $(x_1,\ldots,x_n) \neq (y_1,\ldots,y_n)$. Si fijamos $x_2,\ldots,x_n$, es constante con respecto a los $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $x_1$. Por lo tanto, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(y_1,x_2,\ldots,x_n)$. A continuación, fijar $y_1,x_3,\ldots,x_n$. Entonces, es constante con respecto a los $f(y_1,x_2,\ldots,x_n)$ $x_2$. Por lo tanto, $f(y_1,x_2,\ldots,x_n) = f(y_1,y_2,\ldots,x_n)$. Continuar de esta manera a la conclusión de que $f(x_1,\ldots,x_n) = f(y_1,\ldots,y_n)$, es decir, $f$ es constante.