¿Por qué uniones finitas de conjuntos algebraicos algebraica?

Question

Supongamos que $F,G$ son polinomios en $k[x_1,\cdots, x_n]$ (k es un campo). Que %#% $ #%

Entonces $$V(F) = \{ (a_1,\cdots,a_n)\in k^n : F(a_1,\cdots,a_n)=0 \}.$ esencialmente porque dominios integral no tiene divisores cero. Lo que estoy teniendo problemas para ver es

$V(F)\cup V(G) = V(FG),$$$ V(I)\cup V(J) =\{ (a_1,\cdots, a_n)\in k^n: F(a_1,\cdots,a_n)G(a_1,\cdots,a_n)=0 \ \ \ \forall F\in I, \ \ G\in J\}.$x$ The same argument as in the simpler case doesn't seem to apply since if $FG$ is a point in the RHS, then it could make $F$ always vanish by sometimes making $G$ vanish but not $F,G$ for some $G$, and other times making $F$ vanish but not $F,G.$

¿Puede alguien ayudarme a ver por qué la ecuación es verdadera?

EDITO: Concretamente, veo por el lado izquierdo es un subconjunto de los RHS, pero no a la inversa.

Answer 1

Supongamos que $x\in V(I)\cup V(J)$. Entonces es o $V(I)$ o $V(J)$; digamos que es en $V(I)$. Por lo tanto, $F(x)=0$ todos los $F\in I$, y por lo tanto, para todos los $F\in I$$G\in J$,$F(x)G(x)=0$. El mismo razonamiento se aplica si asumimos $x$$V(J)$. Por lo tanto, $$V(I)\cup V(J)\subseteq\{x\in k^n\mid F(x)G(x)=0\text{ for all }F\in I,G\in J\}.$$ Por el contrario, supongamos que el punto de $x$ satisface $F(x)G(x)=0$ todos los $F\in I$$G\in J$. Si es el caso de que $F(x)=0$ todos los $F\in I$, entonces, por definición, tenemos $x\in V(I)$, y, por tanto,$x\in V(I)\cup V(J)$. Por lo tanto, ahora vamos a suponer que había algo de $F_0\in I$ tal que $F_0(x)\neq 0$. Entonces para cualquier $G\in J$, ya que supone que $F_0(x)G(x)=0$ y estamos trabajando sobre un campo, debemos tener $G(x)=0$. Por lo tanto, $x\in V(J)$, y, por tanto,$x\in V(I)\cup V(J)$.