Puede infinito acortar las pruebas de un lote?

Question

He estado pidió un buen ejemplo de una situación en matemáticas, donde el uso del infinito puede disminuir considerablemente el tiempo de un argumento. La persona que quiere que el ejemplo lo quiere como parte de una presentación para el público en general. Lo mejor que yo podía pensar era en Goodstein secuencias: si usted toma una instancia en particular de la del teorema de Goodstein, el más corto de la prueba en la aritmética de Peano será absurdamente largo, a menos que el caso es muy muy pequeño, pero el uso de los números ordinales uno tiene un precioso corto de la prueba.

Mi pregunta es: ¿alguien tiene más abajo-a-tierra ejemplo? No tiene que ser una en la que se puede demostrar rigurosamente que el uso de infinidad de enorme acorta la menor prueba. Sólo algo de cuando se utiliza el infinito es muy conveniente, aunque el problema en sí es finito. (Esto está relacionado con la pregunta anterior sobre si finita de las matemáticas necesita el axioma del infinito, pero no es el mismo.)

Una rápida meta-pregunta agregar: cuando por fin tuve tiempo para registrarse en este sitio web, he perdido el ganado reputación que se había ganado como usuario no registrado. Estoy ahora caído en desgracia, por así decirlo. Es que solo mi dura suerte?

Answer 1

Un simple ejemplo donde el infinito hace que las cosas simples es demostrar que existen trascendental números. En lugar de tener que idear maneras de contar una trascendental número a partir de una expresión algebraica uno, simplemente decir "bueno, hay demasiados números para que todas ellas sean algebraicas, así que ahí lo tienen".

Answer 2

Uno de mis colegas (de Plata) dio el propósito general de la charla de la semana pasada. No se puede desatar un nudo de $Un$ por atar otro nudo $B$ en la cuerda.

Prueba. El primer espectáculo que la conexión de la suma de los nudos largos es abelian deslizando $A$ través $B$. Luego forma la disminución en el tamaño de conectar la suma de $(AB)(AB)(AB) \dots$. Reagrupar a: $A(AB)(AB) \dots$. Si $AB = 0$, es decir, el unknot, a continuación, la parte izquierda de la agrupación es el unknot. La mano derecha de la agrupación es de $Un$ desde $BA=AB=0$. Ya que $A$ es un nudo, luego $A=0$, una contradicción. QED

La cosa agradable sobre el argumento, es que utiliza un ser infinitamente largo trozo de cuerda, una secuencia infinita de nudos, y los nudos de reducir para ser infinitesimalmente pequeño.

Answer 3

Una de la abajo-a-tierra ejemplo: la aproximación de Stirling para el factorial.

Al menos la derivación dada en la página de la Wikipedia compara el explícito suma representación de $\ln(n!)$ con una suma de Riemann de la aproximación de la integral $\int \ln(x) \mathrm{d}x$. Uno sólo necesita finito de enteros para hablar de factoriales. Por otro lado, se necesita al menos un par de tipos de infinitos para el análisis real involucrados en la descripción de la integral y el acompañamiento de las estimaciones de error. Sin embargo, la simplicidad de esta derivación de la fórmula de Stirling es innegable.

Answer 4

Hindman del teorema es un ejemplo de que (un poco?) mayor infinito simplifica una prueba en gran medida. El teorema afirma que, si la partición del conjunto de números enteros positivos en un número finito de subconjuntos, entonces hay un conjunto infinito de $H$ de enteros positivos tales que todas las sumas de un número finito de miembros de la $H$ se encuentran en la misma pieza de su partición. (Si, como yo, usted se considera de 0 a ser una suma finita, de 0 términos, luego de excluir explícitamente de la conclusión, para que la instrucción tiene sentido.) Hindman original de la prueba trabajado en el dominio de la naturaleza del resultado, de segundo orden de la aritmética, pero Hindman mismo ha sugerido que esta es la prueba de como sería útil para torturar a los estudiantes. Hay un no-tortura de la prueba, debido a Galvin y Glazer, pero una parte esencial de la prueba consiste en considerar un semigroup cuyos puntos son ultrafilters en los números naturales, por lo tanto estamos más allá de segundo orden de la aritmética. De hecho, una clave lema en la prueba depende de aplicar el Lema de Zorn para un cierto poset de subsemigroups de este semigroup. Por lo tanto, estamos aún más lejos de "arriba", desde el dominio de la naturaleza del teorema. (Por cierto, la razón de "un poco?" en la primera línea de esta respuesta es que, a pesar de que estamos muy por encima de donde la mayoría de los matemáticos de trabajo, estamos cerca lo que los teóricos llaman, "grandes cardenales".)

Answer 5

El Mazur Estafa? Ver la página de la Wikipedia, por ejemplo.