A lo largo de las líneas de pensamiento dado aquí, es en general posible sustituto de una suma de más de una función $f$ de los números primos, como los siguientes: $$ \sum_{p\le x}f(p)=\int_2^x f(t) d(\pi(t))\etiqueta{1} $$ y más $$ \int_2^x f(t) d(\pi(t))=f(t)\pi(t)\biggr|_2^{x}-\int_2^{x}f'(t)\pi(t)dt\etiqueta{2}. $$
Si es posible solo en algunos casos, ¿cómo se puede especificar ellos? contestado en los comentarios
Vamos a continuar desde $(2)$, con una representación de la primer función de conteo: $$ \pi(t) = \operatorname{R}(t^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(t^{\rho}) \etiqueta{3} $$ con $ \operatorname{R}(u) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(u^{1/n})$ (el llamado Riemann ${\rm R}$ Función, véase por ejemplo, $(11)$ aquí) y $\rho$ ejecución sobre todos los ceros (triviales y no triviales) de $\zeta$ función.
Así tenemos $$ \begin{eqnarray} &=&f(t)\pi(t)\biggr|_2^{x}-\int_2^{x}f'(t)\pi(t)dt\\ &=&f(t)\left(\operatorname{R}(t^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(t^{\rho})\right)\biggr|_2^{x} -\int_2^{x}f'(t)\left(\operatorname{R}(t^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(t^{\rho})\right)dt \phantom{somemorerspace}\\ &\phantom{AA}&\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ \mu (n)}{n}\Big\{\left[f(t)\left( \sum_{z\in\{1,\rho\}} (-1)^{1-\delta_{1z}} \operatorname{li}(t^{z/n})\right)\right]_2^{x}\\ &&- \int_2^{x}f'(t)\left( \sum_{z\in\{1,\rho\}} (-1)^{1-\delta_{1z}} \operatorname{li}(t^{z/n})\right)dt\Big\}\\ &\phantom{AA}&\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ \mu (n)}{n}\sum_{z\in\{1,\rho\}}(-1)^{1-\delta_{1z}}\left\{\left[f(t)\left( \operatorname{li}(t^{z/n})\right)\right]_2^{x} - \int_2^{x}f'(t)\left( \operatorname{li}(t^{z/n})\right)dt\right\}\hskip0.9in(4) \end{eqnarray} $$ donde traté de combinar la suma de un poco sin introducir a mucha confusión por el uso de $$ (-1)^{1-\delta_{1z}}= \casos{ +1& \text{si } z=1\\ -1& \text{si } z=\rho\\ } $$
Ahora, lo que si tomamos una aproximación a $\tilde{\pi}(t)$, donde las sumas de $n$ $\rho$ se truncan. Es este enfoque sigue vigente? Estoy preocupada porque la $\tilde{\pi}(t)$ podría no ser monotono, que es un requisito previo de la Lebesgue-Stieltjes de la integración. Veamos la última integral, por partes: Utilizamos $$ \int_2^{x}f'(t) \operatorname{li}(t^{w})dt =\left[ f(t)\operatorname{li}(t^{w}) \right]_2^x \int_2^x \frac{f(t)wt^{w-1}}{\ln(t^w)}dt \etiqueta{5} $$ lo que da un buen resultado al $f(t)=t^{-s}$, ver aquí: $$ \int_2^{x}(-st^{-s-1}) \operatorname{li}(t^{w})dt =\left[ t^{s}\operatorname{li}(t^{w}) \right]_2^x \int_2^x \frac{t^{-s}t^{w-1}}{\ln(t)}dt =\left[ t^{s}\operatorname{li}(t^{w}) \right]_2^x - \left[{\rm li}(t^{w, s})\right]^x_2. $$
Así que en total tenemos $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ \mu (n)}{n}\sum_{z\in\{1,\rho\}}(-1)^{1-\delta_{1z}}\left\{\left[f(t) \operatorname{li}(t^{z/n})\right]_2^{x}- \left[ f(t)\operatorname{li}(t^{z/n}) \right]_2^x +\int_2^x \frac{zf(t)t^{z/(n-1}}{n\ln(t^{z/n})}dt \right\}\\ =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ \mu (n)}{n}\sum_{z\in\{1,\rho\}}(-1)^{1-\delta_{1z}}\left\{\int_2^x \frac{f(t)t^{z/(n-1}}{\ln(t)}dt \right\}\etiqueta{6}\\ $$ y en el caso especial $f(t)=t^{-s}$ esto se simplifica a $$ P_\color{rojo}x(\color{blue}s)=\sum_{p<\color{rojo}x} \frac{1}{p^s} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ \mu (n)}{n}\sum_{z\in\{1,\rho\}}(-1)^{1-\delta_{1z}} \left[ {\rm li}(t^{\frac zn-\color{blue}s}) \right)^{\color{rojo}x}_2 \etiqueta{7} $$
(para el lector interesado: la historia sigue aquí...)
Si alguien pudiera confirmar esto, sería muy cool.
Gracias por tu ayuda y tu tiempo para leer todo esto,
