El símbolo de j 6 y Wilson lazos, redux

Question

Esta es una pregunta muy específica de continuar los problemas que tengo con la informática la expectativa de valor de la intersección de Wilson bucles presenté aquí. El uso de las herramientas de la respuesta, estoy muy rápidamente llegar a la siguiente expresión para el factor local asociado a un vértice, donde dos Wilson lazos con representantes de $\alpha_1$ $\alpha_2$ cumplir, y donde las cuatro regiones circundantes tienen reps $\beta_1$$\beta_4$:

$$G(\alpha_1,\alpha_2,\beta_{1,2,3,4})_{\mu\nu}^{\sigma\rho} := \epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_1,\beta_1,\beta_4)\epsilon_\nu^{lmn}(\alpha_2,\beta_1,\beta_2){\epsilon^*}^\sigma_{ijk}(\alpha_1,\beta_2,\beta_3){\epsilon^*}^\rho_{lmn}(\alpha_2,\beta_3,\beta_4)$$

El griego índices son los índices derivados de la descomposición del tensor de productos como $a^i \otimes b^j \otimes b^k = \epsilon_\mu^{ijk}e^\mu$, que conduce a la integral de los resultados como

$$\int \alpha_i(V_b)^i_{i'} \beta_c(V_b)^j_{j'} \beta_{c'}(V_b)^k_{k'} \mathrm{d} V_b = {\epsilon^*}^\mu_{i'j'k'}\epsilon^{ijk}_\mu$$ (ver respuesta anterior). Puesto que el $\epsilon^*$ que tiene el $\mu$ esto se resume con vida en el extremo opuesto de la (parte de) la Wilson línea, el griego índices necesariamente debe permanecer abierto en los vértices. Estoy totalmente bien con este ser el resultado de un cálculo, pero todavía estoy perplejo por qué la relación con la 6j símbolo es tan a la ligera sacudida.

Permítanme en primer lugar comentar que la ecuación anterior ya es sospechosamente similar a la de la primera ecuación en la definición de $6j$ símbolos, pero los índices son irritantes de mí. Si $\epsilon_\mu^{ijk}(\alpha_l,\beta_m,\beta_n)$ $3jm$ símbolo (con $i,j,k$ jugando el papel de la $m$ y el reps correspondiente a la$j$), ¿cuál es el índice adicional $\mu$ haciendo aquí? Si no es el $3jm$ símbolo (que actualmente estoy pensando), entonces ¿por qué la $G$ definidos por encima de ser el $6j$ símbolo (y por qué lo tiene libre índices)? (Si estos no son ni $3jm$ ni $6j$ símbolos, entonces ¿por qué Witten, Ramgoolam, Moore, etc. insisten en que están?)

Tenga en cuenta que el $6j$ símbolo no puede surgir después de sumar el griego índices, puesto que el $G$s el segundo índice pertenece a son, en general, en otros vértices, y así no tienen exactamente el mismo 6 repeticiones como argumentos.

Además, el $3jm$ símbolos son, si entiendo correctamente, esencialmente la Clebsch-Gordan coeficientes de la expansión de un producto tensor de dos irreductible de repeticiones en un tercio, y la $\epsilon$ por encima de expandir el producto tensor de tres irreductible representantes en todos los cuartos (que se suman a lo largo en forma de el griego de los índices).

Algo no añadir aquí, y me fuertemente sospecho que es sólo en mi comprensión de los símbolos, de modo que yo realmente apreciaría que alguien aclarar mi confusión.

EDITAR:

Ok, creo que he encontrado algo, pero yo soy todavía un lejano disparo de resolver este acertijo, y requiere pensar más detenidamente acerca de los coeficientes de $\epsilon^{ijk}_\mu$:

Deje $\alpha,\beta,\gamma$ ser repeticiones con base en los elementos de $a^i,b^j,c^k$como antes. Entonces, podemos descomponer el producto tensor paso a paso en lugar de a la vez como:

$$a^i \otimes b^j \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta e(\rho)^\zeta \otimes c^k = \sum_{\rho \subset \alpha \otimes \beta} \sum_{\sigma \subset \rho \otimes \gamma} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu e(\sigma)^\mu$$

(Me disculpo por la abundancia de símbolos, pero en realidad se hace más claro lo que está sucediendo de esa manera.)

Aquí, el $C(j_1,j_2,j_3)$ ahora son manifiestamente Clebsch-Gordan coeficientes de $j_1,j_2$$j_3$, y, por tanto, esencialmente $3jm$ símbolos, y la notación $\rho \subset \alpha \otimes \beta$ significa que la irreductible rep $\rho$ se produce como un subrep en $\alpha \otimes \beta$. Desde Clebsch-Gordan coeficientes por los representantes que no aparecen en un determinado producto tensor son cero, se le puede quitar la restricción en la suma y la suma de todos los irreductible reps. Por lo tanto, $\epsilon^{ijk}_\mu = \sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\sigma)^{\zeta k}_\mu$.

Ahora, en la integral resultado anterior, por el de Peter-Weyl teorema (véase también la respuesta anterior), el $\epsilon$ sólo se suman a lo largo de la $\mu$ pertenecientes a trivial subreps de $\alpha \otimes \beta \otimes \gamma$, yo.e $\sigma = 0$, si se denota el trivial rep $0$ en analogía a $j = 0$ en el spin caso. Por lo tanto, tenemos que el resultado de la integral es

$$I := \int \alpha(g)^i_{i'}\beta(g)^j_{j'}\gamma(g)^k_{k'} = \left(\sum_\rho C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k}_\mu C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}^\mu\right)$$

Pero el trivial irreductible rep sólo tiene una dimensión, por lo que la suma de las $\mu$ es sólo la multiplicidad $n(\rho,\gamma,0)$$0$$\rho \otimes \gamma = \bigoplus_\sigma n(\rho,\gamma,\sigma)\sigma$, es decir,

$$I = \sum_\rho n(\rho,\gamma,0)C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,0)^{\zeta k} C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,0)_{\eta k'}$$

Esto elimina el molesto $\mu$, llevaría a la $G$ desde el inicio de la pregunta que se compone de la suma de más de un producto de 8 $3jm$ símbolos ( $C(\alpha,\beta,\gamma)$ ), 4 de las cuales cada uno se suman a lo largo de su $m$ índices, produciendo el producto de dos $6j$ símbolos suman más de uno de sus $j$s ( $\rho$ ). Asimismo, el índice se estructura en $e^{ijk}e^*_{ijk}$ $G$ se traduce en un índice de estructura de la $C$ coincide exactamente con la de la $3jm$ $6j$ símbolo.

Pero antes de trabajar en eso, ¿alguien puede decirme si este es el camino correcto o si me masacrados algo en el camino (yo no soy lo suficientemente cómodo con mis habilidades sin embargo, a confiar plenamente en mi razonamiento cuando me lleva a una respuesta cuya forma ya sé)? O tal vez debería tomar esto para los matemáticos, ya que la respuesta parece ser puramente grupo teórico hasta ahora?

Answer 1

Muy bien, vamos a ir en un emocionante recorrido a través de la teoría de las representaciones. La notación en la siguientes es la misma que en el OP, salvo que nos llame a la representación trivial $\boldsymbol{1}$, como es el canon.

Partimos desde mi expresión en la pregunta

$$I := \int \alpha(g)^i_{i'}\beta(g)^j_{j'}\gamma(g)^k_{k'} = \sum_\rho \sum_{\mu = 0}^{n(\rho,\gamma,\boldsymbol{1})} C(\alpha,\beta,\rho)^{ij}_\zeta C(\rho,\gamma,\boldsymbol{1})^{\zeta k}_\mu C^*(\alpha,\beta,\rho)_{i'j'}^\eta C^*(\rho,\gamma,\boldsymbol{1})_{\eta k'}^\mu$$

Ahora, la primera cosa que debemos saber es: ¿con qué frecuencia $\boldsymbol{1}$ aparecen en $\rho \otimes \gamma$?

La respuesta es deprimente simple. Por Schur del lema, todos los morfismos de espacios vectoriales $V_\rho \rightarrow V_\gamma$ que conmuta con el grupo de acción es un isomorfismo de los cero mapa. Deje que nos denota el conjunto de morfismos que conmuta con el grupo de acción por $\mathrm{Hom}_G(V_\rho,V_\gamma)$. Ahora, $n(\rho,\gamma,\boldsymbol{1})$ es la dimensión de la $\mathrm{Hom}_G(V_{\boldsymbol{1}},V_\rho \otimes V_\gamma)$. Para finito de espacios vectoriales, $V_\rho \otimes V_\gamma \cong \mathrm{Hom}(V_\rho,V_\gamma^*)$, donde el asterisco denota el espacio dual en el que tenemos la representación dual $\gamma^*$.Por lo tanto, vamos a buscar la dimensión de $\mathrm{Hom}_G(V_{\boldsymbol{1}},V_\rho \otimes V_\gamma) \cong \mathrm{Hom}_G(V_{\boldsymbol{1}},\mathrm{Hom}(V_\rho,V_\gamma^*)) \cong \mathrm{Hom}_G(V_\rho,V_\gamma^*)$. Pero Schur del lema nos dice que este espacio sólo es distinto de cero al $V_\rho$ $V_\gamma^*$ son isomorfos! (Y es fácil ver que, incluso entonces, es sólo una dimensión.) Así, hemos encontrado un preciso criterio para la ocurrencia de la trivial subrep: $\rho = \gamma^*$. Por lo tanto, la suma de $\mu$ $\rho$ es asesinado, y todo lo que queda es

$$I = C(\alpha,\beta,\gamma^*)^{ij}_\zeta C(\gamma^*,\gamma,\boldsymbol{1})^{\zeta k}C^*(\alpha,\beta,\gamma^*)^\eta_{i'j'}C^*(\rho,\gamma,\boldsymbol{1})_{\eta k'}$$

Ahora, debemos pensar un poco más cuidadosamente de lo que hice antes sobre los factores en un vértice: Las tres representaciones asociadas con el $\epsilon$ factor son las $\alpha_1$ de los Wilson y de la línea de $\beta_1,\beta_4$ de las regiones adyacentes a él. Pero para una de las dos regiones, la de Wilson es la línea que va en contra de su orientación natural, por lo que será w.l.o.g. un factor de $\beta_4(g^{-1})$ en la integral. Ahora, ya que consideramos unitario de representaciones, $\beta_4(g^{-1}) = \beta_4^*(g)$, y el factor asociado a la parte de la Wilson línea en el vértice, es

$$\epsilon(\alpha_1,\beta_1,\beta_4^*)^{ij}_k := C(\alpha_1,\beta_1,\beta_4)^{ij\zeta}C(\beta_4,\beta_4^*,\boldsymbol{1})_{\zeta k}$$

cual es el $3jm$-símbolo de los representantes de $\alpha_1,\beta_1,\beta_4$.

Pensar cuidadosamente acerca de las cuatro líneas de la reunión en el vértice, y las orientaciones relativas de las regiones y de las líneas, finalmente, se encuentra que el total de los factores en un vértice a ser

$$G(\alpha_1,\alpha_2,\beta_{1,2,3,4}) = {\epsilon(\alpha_1,\beta_1,\beta^*_4)^{ij}}_k{\epsilon(\alpha_2,\beta_2,\beta_1^*)^{lm}}_j {\epsilon^*(\alpha_1,\beta_2,\beta^*_3)_{im}}^n {\epsilon^*(\alpha_2,\beta_3,\beta^*_4)_{ln}}^k$$

que tiene exactamente la estructura de ser el producto de un 4 $3jm$ símbolos suman a lo largo de su $m$ a a ser un $6j$ símbolo. Por lo tanto, como es lógico, Witten es correcto afirmar que tenemos la $6j$ símbolo en un vértice, aunque todavía consideran que este es altamente no-evidente.