¿Cómo puedo calcular $\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\int_0^x te^{-2t}\,dt-\frac14\right)$ ?

Question

Intenté

$$\displaystyle \int_0^x te^{-2t}\,dt$$

Sea $u=t \implies du=dt$ Y $dv=e^{-2t}\,dt \implies v=-\dfrac{1}{2}e^{-2t}$

$$\displaystyle \int_0^x te^{-2t}\,dt=-\dfrac{1}{2}te^{-2t}\bigg|_0^x+\int_0^x \dfrac{1}{2}e^{-2t}\,dt$$ $$=-\dfrac{1}{2}xe^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+\dfrac{1}{4}$$ $$\displaystyle \lim_{x\to\infty}x\left(\int_0^x te^{-2t}\,dt-\dfrac{1}{4}\right)$$ $$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}x\left(-\dfrac{1}{2}xe^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)$$ $$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{1}{4}xe^{-2x}(2x+1)$$ $$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{x(2x+1)}{4e^{2x}}$$ $$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{2x^2+x}{4e^{2x}}$$

Answer 1

Aplicando la regla de L' Hospital para evitar la forma indeterminada debida a la sustitución directa, tenemos

$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{4x+1}{8e^{2x}}$

Forma indeterminada de nuevo, aplicando la Regla de L' Hospital se obtiene

$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{4}{16e^{2x}}$

$=\displaystyle \lim_{x\to\infty}-\dfrac{1}{4e^{2x}}$

$=0$

Por lo tanto $\displaystyle \lim_{x\to\infty}x\left(\int_0^x te^{-2t}\,dt-\dfrac{1}{4}\right)=0$

Answer 2

Se puede evitar el cálculo de la integral escribiendo $$\lim_{x\to \infty}x\left (\int_0^xte^{-2t}dt-\frac{1}{4}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{\int_0^xte^{-2t}dt-\frac{1}{4}}{\frac 1x}$$ Aplicando la regla de L'Hospital, si el límite existe el segundo límite es igual a $$\lim_{x\to \infty}\frac{xe^{-2x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to \infty}-\frac{x^3}{e^{2x}}$$ que es $0$ usando L'Hospital tres veces.

Answer 3

$$\int_{0}^{x}t e^{-2t}\,dt -\frac{1}{4} = -\int_{x}^{+\infty}t e^{-2t}\,dt=-e^{-2x}\int_{0}^{+\infty}(t+x)e^{-2t}\,dt $$ y $$ 0\leq \int_{0}^{+\infty}(t+x)e^{-2t}\,dt = x^2\int_{0}^{+\infty}(t+1)e^{-2t x}\,dt\leq Cx^2 $$ de ahí que el límite sea trivialmente cero por compresión.