Comparar el $\int_0^1 f(x)\log f(x)\,dx$ y $\int_0^1f(s)\,ds\cdot\int_0^1\log f(t)\,dt$

Question

La pregunta es: Dado $f$ a ser positivo, medible de la función en $[0,1]$, que es más grande, $\displaystyle\int_0^1 f(x)\log f(x)\,dx$ o $\displaystyle\left(\int_0^1f(s)\,ds\right)\left(\int_0^1\log f(t)\,dt\right)$?

Sé que a partir de ensayos con $f(x)=x$ que la primera integral es, de hecho, más grandes. Por supuesto, no se trata de un riguroso "prueba" (si es que puede incluso ser llamado de esa). Estoy seguro de ir sobre esto. A primera vista, es similar a la del Titular de la Desigualdad problema, pero parece ir en la dirección equivocada. Si alguien tiene una sugerencia/sugerencia en cuanto a por dónde empezar, sería muy apreciado. Gracias de antemano!

EDITAR: Ahora he encontrado ejemplos que muestran la igualdad y la desigualdad en la otra dirección. Si dejo $f(x)=\cases{c\text{ if }x\in[0,1/2)\newline1\text{ otherwise}}$, entonces la primera integral es menor si $0<c<1$, son iguales si $c=1$, y la segunda es más pequeña si $c>1$. La nueva pregunta es esta una respuesta suficiente: La magnitud de la integral depende de la función de $f$?

RE-EDITAR: Se me olvidó el cambio de signo de $\log c$ al $c<1$, por lo que tendría las integrales de ser igual al $c=1$ o de la segunda integral, siendo más grande para otros valores de $c$. Supongo que mi pregunta original sigue siendo.

Answer 1

Considerar dos funciones $G$ y $H$, ambos en aumento, que $G(f)$ $H(f)$ está y integrable. A continuación,

$$\int_0^1G(f(x))\mathrm dx\cdot\int_0^1H(f(x))\mathrm dx\leqslant\int_0^1G(f(x))H(f(x))\mathrm dx.$$

Para mostrar esto, integrar en $(0,1)\times(0,1)$ con respecto a la medida de Lebesgue la desigualdad $$[G(f(x))-G(f(y))]\cdot[H(f(x))-H(f(y))]\geqslant0,$$ which holds everywhere in $(0,1)\times(0,1)$, and expand the inequality you get.

Así, el resultado en la pregunta utiliza sólo la monotonía de la funciones $t\mapsto t$ y $t\mapsto\log t$.

Answer 2

Permítanme darles una secuencia de sugerencias:

1. ¿Sabe usted la desigualdad de Jensen?

$ $

2. $\frac{d^2}{dx^2} (x \cdot \ln(x)) = \frac{d}{dx} (\ln(x) + x \cdot 1/x) = 1/x > 0$ $x>0$ . Por lo tanto, el mapa de $\Phi : (0,\infty) \to \Bbb{R}, x \mapsto x \cdot \ln(x)$ es convexa.

$ $

3. Una aplicación de Jensen de la desigualdad de los rendimientos de $$\int_0^1 f(x) dx \cdot \ln \left(\int_0^1 f(x) dx\right) =\Phi \left( \int_0^1 f(x)\,dx\right)\leq \int_0^1 \Phi(f(x)) \, dx$$

$ $

4. Finalmente, $\frac{d^2}{dx^2}(-\ln(x)) = \frac{d}{dx} -1/x = x^{-2} > 0$, por lo que el $-\ln : (0,\infty) \to \Bbb{R}$ también es convexo. Otra aplicación de Jensen da $$- \ln\left(\int_0^1 f(x) \, dx \right) \leq \int_0^1 -\ln(f(x))\,dx$$. Together with step (3) and with $\int_0^1 f(x) \,dx > 0$, esto demuestra la reclamación.