Caracterización de mapas abiertos y cerrados en cuanto a filtros de

Question

Continuidad de entendimiento y consistencia en términos de filtros ha sido muy clarificador para mí. ¿Hay una caracterización conveniente de mapas abiertos y cerrados en cuanto a los filtros?

Por ejemplo, me parece que un mapa $f:X \to Y$ foro abierto cada $x \in X$ y cada barrio base $\mathcal{N}_x$ $x$, $f(\mathcal{N_x})$ genera un filtro más grueso que el filtro de barrio en $f(x)$. ¿Esto te parece correcto?

Answer 1

Una posibilidad para el cerrado de los mapas es $$f \text{ closed}\iff \bigg( f(\mathcal{F}) \to y \implies \mathcal{F} \to f^{-1}(\{y\}) \bigg), $$ o, equivalentemente, $$f \text{ closed}\iff \bigg( f(\mathcal{F}) \text{ clusters at } y \implies \mathcal{F} \text{ clusters at } f^{-1}(\{y\}) \bigg), \tag{1}$$ donde la noción de un filtro de $\mathcal{F}$ agrupación en clústeres en un conjunto $S$ significa que todos los $F$ $\mathcal{F}$ cumple con todos los barrios de $S$, y de manera similar para la convergencia. Tenga en cuenta que nos puede permitir $f^{-1}(\{y\})$ a estar vacío, si consideramos que "la agrupación en el conjunto vacío" para ser un vacuo condición.

De forma análoga declaraciones se aplican si queremos reemplazar los filtros por las redes.

Nota si $f$ pasa a ser la correcta, a continuación, $f^{-1}(\{y\})$ es compacto, y "$\mathcal{F}$ grupos $f^{-1}(\{y\})$" es equivalente a "$\mathcal{F}$ clústeres en un cierto punto en $f^{-1}(\{y\})$". Curiosamente, la condición de "$f(\mathcal{F})$ grupos $y \implies \mathcal{F}$ racimos en algunos $x \in f^{-1}(\{y\})$" es equivalente a $f$ ser universalmente cerrado (ver Bourbaki Topología de la sección 10.2).

Otro, más esotérico posibilidad para el cerrado de los mapas es el siguiente: considere el functor $f_\forall :\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$ dada por $$f_\forall (S) := \{ y \in Y: f(x)=y \implies x \in S\},$$ y denotan por $f_\exists$ la normal de imagen directa. A continuación, $f_\exists$ toma cerrada de los conjuntos de conjuntos cerrados iff $f_\forall$ toma de conjuntos de bloques abiertos, ya que $f_\exists (S^c) = f_\forall(S)^c$. Así, suponiendo que el punto en el post original es correcta, un mapa es cerrado iff $\langle f_\forall (\mathcal{N}_x) \rangle \subseteq \langle \mathcal{N}_{f(x)} \rangle$ todos los $x$ donde $\langle \mathcal{B} \rangle$ representa el filtro generado por la base del filtro de $\mathcal{B}$.