Conjugada transpuesta de una matriz

Question

Tengo una pregunta bastante simple. ¿Si $A$ es una matriz y $A^*$ denota la transpuesta conjugada, lo cierto es que si $Ax = x$, entonces el $A^*x = x$? El % de matriz $A^*$tendrán $1$ como un valor propio, pero será con el mismo vector propio? Y si no, ¿cuál es la relación entre el vector propio de $A$ y el de $A^*$?

¡Gracias!

Answer 1

No, tomar la matriz

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$

que tiene $x=(1,0)^T$ como un vector propio con valor propio 1. Sin embargo, $A^*x=(1,1)^T\neq x$.

Answer 2

El ejemplo más fácil sería considerar el % de una matriz fila $$A = xy^\top$$ entonces $$Ax = (xy^\top) x= x(y^\top x) = x\lambda = \lambda x$ $ y $$ A^* x = (\bar{y} \bar{x}^\top) x =\bar{y} (\bar{x}^\top x )= \bar{y} k = k\bar{y}$ $

Answer 3

Los vectores propios de a$A$$A^\ast$, en general, no tienen relación uno con el otro.

Deje $e_i$ indica el $i$-ésimo vector de la base canónica de $\mathbb{C}^n$. Elija cualquiera de los dos vectores $u,v$, de tal manera que $u$ es linealmente independientes de a $e_n$ $v$ es linealmente independientes de a $e_1$. Entonces siempre existe una matriz invertible $S$ tal que $Se_1 = u$$Sv = e_n$. Ahora, considere la posibilidad de $A=SJS^{-1}$ donde $J$ $n\times n$ Jordania bloque asociado con el valor propio $1$. A continuación, $u$ es el vector propio de a $A$ (hasta múltiplos escalares) y $\bar{v}$ es el vector propio de a $A^\ast$. Desde $u$ $v$ son escogidos arbitrariamente, que no tienen relación uno con el otro en absoluto.