Ley asociativa no es auto evidente

Question

La declaración:

"Es importante entender que la ley no es asociativa auto-evidente; de hecho, si $a*b=a/b$ para números positivos $a$ $b$ entonces, en general, $(a*b)*c\ne a*(b*c)$." - p. 3, A. Beardon, Álgebra y la Geometría.

Estoy claro en cuanto a cómo llevar a la suposición de $a*b=a/b$. Qué significa que suponemos, como una alternativa (experimento del pensamiento), que $a*b := a/b$ y sustituto $(a/b)$ por cada $(a*b)$ y demostrar la desigualdad resultante de la declaración? O, en caso de un aviso que $a*b=a/b$ es cierto cuando se $b=1$, pero, a continuación, tenga en cuenta que el dominio fue supone $\mathbb{R}_+$, por lo $(a*b)*c \ne a*(b*c)$ en general?

Answer 1

Que son, básicamente, a la derecha en sus conjeturas. Lo que se hace hincapié es que no todas las operaciones binarias (es decir, cosas que tomar dos entradas de su conjunto y devolver un tercer elemento del conjunto) que se pueden definir son necesariamente asociativo sólo porque son operaciones binarias. En este ejemplo, ellos están diciendo que si usted definir el ejemplo particular de una operación binaria, a la que dan el nombre de $*$, en el conjunto de $\Bbb R^+$, como en este ejemplo, es decir,$a*b={a\over b}$, luego

$$(a*b)*c={{a\over b}\over c}={a\over bc}$$

y

$$a*(b*c)={a\over {b\over c}}={ac\over b}$$

por cálculo directo.

En este punto se podría objetar y decir "pero no $*$ significa la multiplicación?" Si es así, usted puede reemplazar el símbolo $*$ por otro si te ayuda, $\oplus$ es una agradable así, el punto es que es la operación binaria que hemos definido, no importa lo que parece sobre el papel como un símbolo.

Ahora, mediante la definición de dos números reales, $x,y\in\Bbb R$, la definición de la igualdad es

$$x=y\iff x-y=0$$

y dadas dos fracciones, ${p\over q}, {r\over s}\in\Bbb R^+$ la definición de la igualdad es

$${p\over q}={r\over s}\iff ps-qr=0.$$

En tu caso:

$${a\over bc}-{ac\over b}=0$$ $$\iff {a\over bc}={ac\over b}$$ $$\iff ab-abc^2=0$$ $$\iff ab=abc^2$$

para cada $a,b,c\in\Bbb R^+$, sin embargo esta condición claramente requiere de $c^2=1$ que es sólo cierto para $c=1$ sobre los números reales positivos, por lo que la operación no es asociativa, ya que la relación sólo es válida para un único número real positivo, $c=1$, en lugar de todos los reales positivos.

Answer 2

Aquí, el $*$ representa una operación binaria arbitraria, no de multiplicación como piensas. La definición de $*$ es un mapa $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$ que se define en $*(a,b)=\frac{a}{b}$. Ahora, $a*b$ es sólo una forma alternativa de representar $*(a,b)$.

Ahora ¿por qué no $*$ asociativa? Pues bien, tenemos $(a*b)*c=(a/b)*c=(a/b)/c=\frac{a}{bc}$ y $a*(b*c)=a*(b/c)=a/(b/c)=\frac{ac}{b}$, por lo tanto, $(a*b)*c \not= a*(b*c)$.

Answer 3

Creo que estás suponiendo que * significa multiplicación. Pero en esta situación representa una operación binaria general y en particular, división.

Answer 4

En general, sin hacer ninguna suposición, $\ast$ está parado para una operación de grupo. En el ejemplo citado, es definido que la división. Por lo tanto, en este caso, $(a \ast b) \ast c = (a/b)/c \neq a/(b/c) = a \ast (b \ast c)$, excepto en casos triviales.