Que $a,b$ $c$ ser numbers.evaluate real el siguiente determinante: | $b^2c^2 ,bc, b+c;c^2a^2,ca,c+a;a^2b^2,ab,a+b$ |

Question

Que $a,b$ $c$ ser números reales. Evaluar el determinante siguiente:

$$\begin{vmatrix}b^2c^2 &bc& b+c\cr c^2a^2&ca&c+a\cr a^2b^2&ab&a+b\cr\end{vmatrix}$$

después de mucho cálculo me sale que la respuesta será $0$. ¿Hay cualquier proceso corto? Por favor, ayudar a alguien gracias.

Answer 1

If $b=0,$ $$\begin{vmatrix}b^2c^2 &bc& b+c\cr c^2a^2&ca&c+a\cr a^2b^2&ab&a+b\cr\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}0 &0&c\cr c^2a^2&ca&c+a\cr 0&0&a\cr\end{vmatrix}$$

Ahora, si $a=0,$ % $ $$\text{the determinant becomes }\begin{vmatrix}0 &0&c\cr 0&0&c\cr 0&0&0\cr\end{vmatrix}=0$

otra para el $ca\ne 0$ % $ $$\text{the determinant becomes }c^3a^3\begin{vmatrix}0 &0&c\cr 1&1&c\cr 0&0&0\cr\end{vmatrix}=0$

Así que, si $abc\ne 0,$

$$\begin{vmatrix}b^2c^2 &bc& b+c\cr c^2a^2&ca&c+a\cr a^2b^2&ab&a+b\cr\end{vmatrix}$$

$$=\frac1{abc}\begin{vmatrix}a(b^2c^2) &abc& a(b+c)\cr b(c^2a^2)&cab&b(c+a)\cr c(a^2b^2)&abc&c(a+b)\cr\end{vmatrix} \text{ applying } R_1'=aR_1, R_2'=bR_2, R_3'=cR_3$$

$$=abc\begin{vmatrix}bc &1& a(b+c)\cr ca&1&b(c+a)\cr ab&1&c(a+b)\cr\end{vmatrix}\text{ applying } C_1'=\frac{C_1}{abc} \text{ and } C_2'=\frac{C_2}{abc}$$.

$$=abc\begin{vmatrix}bc &1& a(b+c)+bc\cr ca&1&b(c+a)+ca\cr ab&1&c(a+b)+ab\cr\end{vmatrix} \text{ applying } C_3'=C_3+C_1$$

If $ab+bc+ca=0,$ $$\text{the determinant becomes } abc\begin{vmatrix}bc &1& 0\cr ca&1&0\cr ab&1&0\cr\end{vmatrix}=0 $$

Otra cosa $$ = abc(ab+bc+ca)\begin{vmatrix}bc &1& 1\cr ca&1&1\cr ab&1&1\cr\end{vmatrix} \text {aplicación} C_3'= \frac {C_3} {ab + bc + ca} $$

$$=abc(ab+bc+ca)\cdot 0 \text { as the 2nd & the last columns are identical.}$$

Answer 2

Expansión en la columna 1 no es demasiado mala. En cada cofactor el % de términos $abc$cancelar. Se convierte en

$$b^2c^2 (ca^2-a^2b) +c^2a^2 (ab^2-b^2c)+a^2b^2(bc^2-c^2a)$ $ $a^2b^2c^2[(c-b)+(a-c)+(b-a)]=0.$

Answer 3

Asumimos $\,abc\neq 0\,$, si el determinante es cero a la vez (¿por qué? Por ejemplo, supongamos que $\,b=0\,$. Entonces $\,ac=0\,$ y haz una fila de ceros, o la fila 3 es un múltiplo de la 1 º... y si $\,a=0\vee c=0\,$):

$$\begin{vmatrix}b^2c^2 &bc& b+c\cr c^2a^2&ca&c+a\cr a^2b^2&ab&a+b\cr\end{vmatrix}\stackrel{aR_1\,,\,bR_2\,,\,cR_3}{\longrightarrow}\begin{vmatrix}ab^2c^2 &abc& ab+ac\cr a^2bc^2&abc&ab+bc\cr a^2b^2c&abc&ac+bc\cr\end{vmatrix}\stackrel{R_2-R_1\,,\,R_3-R_1}\longrightarrow$$

$$\begin{vmatrix}ab^2c^2 &abc& ab+ac\cr abc^2(a-b)&0&-c(a-b)\cr ab^2c(a-c)&0&-b(a-c)\cr\end{vmatrix}\stackrel{\text{develop by 2nd column}}\longrightarrow$$

$$-abc\begin{vmatrix}abc^2(a-b)&-c(a-b)\\ab^2c(a-c)&-b(a-c)\end{vmatrix}$$

Y ahora el factor $\,c(a-b)\,\,,\,\,b(a-c)\,$ de primera y segunda fila y y

$$-ab^2c^2(a-b)(a-c)\begin{vmatrix}abc&-1\\abc&-1\end{vmatrix}=0$$

Por último, prestar atención al hecho de que el determinante original es cero (o no) sin tener en cuenta para las operaciones

Answer 4

\begin{align*} \begin{vmatrix}b^2c^2&bc&b+c\\c^2a^2&ca&c+a\\a^2b^2&ab&a+b\end{vmatrix} \stackrel{\large R_1-R_3\, \, R_2 R_3} {\longrightarrow} & (c-a)(c-b) \,\begin{vmatrix}b^2(c+a)&b&1\\a^2(c+b)&a&1\\a^2b^2&ab&a+b\end{vmatrix}\\ \stackrel{\large C_1\,-\,ab\,C_2} {\longrightarrow} &(c-a) (c-b) \,\begin{vmatrix}b^2&b&1\\a^2&a&1\\0&ab&a+b\end{vmatrix}\\ \stackrel{\large c R_1 R_2} {\longrightarrow} & (c-a)(c-b)c(b-a) \,\begin{vmatrix}b+a&1&0\\a^2&a&1\\0&ab&a+b\end{vmatrix}\\ \stackrel{\large aR_1 R_2} {\longrightarrow} &(c-a)(c-b)c(b-a) \,\begin{vmatrix}b+a&1&0\\-ab&0&1\\0&ab&a+b\end{vmatrix}=0. \end{align*}

Answer 5

Imaginar la expansión a lo largo de la primera columna. Tenga en cuenta que es el cofactor de la $b^2c^2$ $$(a+b)ac-(a+c)ab=a^2(c-b)$$ which is a multiple of $ una ^ 2 $. The other two terms in the expansion along the first column are certainly multiples of $ una ^ 2 $, so the determinant is a multiple of $ una ^ 2 $. By symmetry, it's also a multiple of $b ^ 2 $ and of $c ^ 2$.

Si $a=b$ entonces las dos primeras filas son iguales, el de determinante cero, por lo que el factor determinante es divisible por $a-b$. Por simetría, también es divisible por $a-c$ y $b-c$.

Por lo tanto, el determinante es divisible por $a^2b^2c^2(a-b)(a-c)(b-c)$, un poynomial de grado $9$. Pero el detrminant es un polinomio de grado $7$, por lo que debe ser idénticamente cero.