Hay muchas maneras de responder a esta. Creo que mi favorito es este:
La expansión de Taylor de una función $f$ $a$ es:
$$ f(x) = f(a) + f^\prime (a)(x-a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^2 + ... +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+...$$
Qué se puede hacer con esto es tomar una función $f$ alrededor de algún punto de $a$, a continuación, eliminar la información que se obtiene a partir de la primera $n$ derivados restando la primera $n$ términos de la expansión de Taylor, y luego el menor distinto de cero el polinomio de aproximación se puede obtener es, en un sentido, la información que el $(n+1)$th derivados sostiene.
Vamos a tratar de que coincida con lo que usted ya sabe de este enfoque:
- $f(a)$ es la información más importante cuando se trata de entender cómo nuestro $f$ se comporta alrededor de $a$ - le dice donde todo se encuentra, y es, de hecho, la aproximación de $f$ con un polinomio de grado $0$.
- $f^\prime(a)$ es el resultado de la eliminación de toda la información dada por $f(a)$ (restando) y, a continuación, tratando exponencialmente aproximado de la función. Así en el hecho de $f^\prime(x)$ es responder a la pregunta "¿Qué línea recta no $f$ más ver como alrededor de $a$?". Si esta línea es ascendente se puede decir que el $f$ es ascendente, se puede decir que la pendiente de la línea puede ser muy naturalmente el pensamiento de como la pendiente de $f$$a$, y así sucesivamente.
- $f^{\prime\prime}(a)$. Una vez que se aburre de la comparación de $f$ a una línea recta, puede eliminar esta parte también restando $f^\prime(a) (x-a)$ y, a continuación, el siguiente nivel más bajo trivial polinomio de aproximación se puede obtener es de grado $2$ - una parábola, y es el coeficiente es (proporcional) $f^{\prime\prime}(a)$. Y de nuevo, si $f^{\prime\prime}(x)>0$, la parábola es una "sonrisa" y la función puede decirse que es cóncava, y si $f^{\prime\prime}(x)<0$, la parábola es "fruncir el ceño" y $f$ puede decirse que es convexo, el más alto es el coeficiente de la más fuerte es la concavidad / convexidad, etc.
- $f^{\prime\prime\prime}(a)$. Aquí es donde se pone menos intuitivo, ya que puede restar la anterior aproximación, pero ahora tiene dos problemas:
En primer lugar, usted ya tiene un montón de información sobre la función, entonces, ¿cómo esto cambia lo que usted sabe que puede ser más difícil de visualizar.
Segundo, no Es inmediatamente intuitiva de lo que significa ser similar a un determinado monomio de grado $3$.
Sin embargo, esto puede ser un poco más clara cuando se $f^{\prime\prime}(a)=0$. En este caso, $f$ no es ni cóncava ni convexa en $a$, pero si la tercera derivada es positiva, entonces debe ser similar a $x^3$, lo que significa que es más convexa a la izquierda y más cóncava a la derecha, y si $f^{\prime\prime\prime}(a)<0$, entonces debe ser similar a $-x^3$, es decir, cóncava en la parte izquierda y convexo en la derecha. Esto es cierto en general, como la tercera derivada puede ser visto como una medida de "¿cuánto más cóncavo / convexo se obtiene la función de pasar alrededor de $a$", pero esto puede ser un poco difícil de visualizar.
- $f^{(n)}(a)$. De la misma manera como antes, esto se puede considerar como una medida de lo $n$-grado del monomio es $f$ más similar, descartando toda la información de menor grado del polinomio aproximaciones. Creo que esto nos es difícil visualizar como una cualidad por la misma razón que es difícil decir lo que es el verdadero "cualitativa" de la diferencia entre el$x^2$$x^4$, quizá porque nuestra intuición es, naturalmente, construido a hacerlo con buenas aproximaciones, y el valor, la pendiente y la concavidad / convexidad de una función en un punto ya se describe una aproximación muy buena para la mayoría de los "cotidiana" de los casos.
También puede a veces ser útil echar un vistazo a la interpretación física de los derivados de movimiento: $f(x)$ es ahí donde están, $f^\prime(x)$ es su velocidad, $f^{\prime\prime}(x)$ es su aceleración, $f^{\prime\prime\prime}(x)$ es la tasa en que la aceleración de los cambios (por ejemplo, si usted está en un coche y vas poco a poco de pisar el gas), etc.
Creo que esta es una muy buena pregunta, porque la comprensión de conceptos como este puede dar muy poderosa intuición, y yo no puedo decir que tiene alguna intuición geométrica de cualquier derivadas mayores, pero los coeficientes de la serie de Taylor evitar que esto me mantiene despierto en la noche.
