Que $\Omega$ sea una región en $\mathbb{R}^2$ $f:\Omega \to \mathbb{R}$ una función lisa. ¿Por qué es la cantidad, %#% $ de #% llamado la "energía" de $$ \tfrac{1}{2} \iint_{\Omega} \|\nabla f\|^2 $? Estoy seguro proviene de la física pero no sé por qué.
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El término de energía proviene de la electrostática. La densidad de energía del campo eléctrico $\mathbf E$$\frac12 \varepsilon_0\mathbf E^2$; para obtener la energía total del campo integramos.
La derivación de $\frac12 \varepsilon_0\mathbf E^2$ se da en el artículo de la Wikipedia energía potencial Eléctrica. Pero voy a esbozar los pasos aquí: la energía potencial de una carga en un campo eléctrico (normalizada a ser cero en el infinito) es proporcional al producto de la carga de la cantidad y el potencial de $\Phi$. De distribución de los cargos, la densidad de carga es la divergencia de $\mathbf E$. De modo que la energía potencial es $$\frac12 \varepsilon_0 \int \Phi \nabla \mathbf E$$ que después de la integración por partes (el uso de $\nabla \Phi = -\mathbf E$) se convierte en $$\frac12 \varepsilon_0 \int \mathbf E\cdot \mathbf E = \frac12 \varepsilon_0 \int |\nabla \Phi|^2 $$
JHance
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Imaginemos que la gráfica de $f$ $\mathbb{R}^3$ representa a algunos de la hoja de uniforme de goma elástica. Si estudiamos la idealizada caso, nos encontramos con que la fuerza en la dirección horizontal es $\Delta f$. (Esto es razonable, pues, al estudio de Laplace de la ecuación encontramos que la armónica de funciones, los hwich satisfacer $\Delta f =0$ satsify una propiedad donde $f(x)$ es igual a la media de valor de $f$ en cualquier círculo en torno a $f(x)$, por lo que el caucho se estará en una situación de equilibrio). Por lo tanto la integral dada captura la energía potencial en la goma de la tira en sí mismo (se obtiene un factor al cuadrado, de modo que la energía potencial y cinética interactuar correctamente).
