Identidad de frecuencia de números enteros con divisor más pequeño de prime(n)

Question

Una identidad para A038110 y A038111: $$ \frac{\phi(e^{\psi(p_{n}-1)})}{e^{\psi(p_{n})}}=\frac{\prod _k^{n-1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)}{p_n}, $$ donde $\psi(\cdot)$ es la segunda función de Chebyshev y $\phi(\cdot)$ es de Euler totient función. RHS es el de Euler, el Primer Producto de OEIS.

Es esta una identidad conocida? (Todavía una cuestión abierta, aunque creo que de Kronecker sabía.)

Edición de Cómo me encontré con esta identidad: he creado un capicúa divisor de secuencia para ver si podía encontrar una solución a Oppermann la conjetura mediante la evaluación de los divisores de los compuestos de números en el intento de aislar a los números primos. Un ejemplo: $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 3 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 5 \\ \end{array} \right), $$ donde tenemos dos secuencias palindrómicas cuando nos caiga el último de los elementos. Aviso de que el recuento de corresponde a la de Euler Totient función. La mano izquierda de la matriz se corresponde con el numerador y el lado derecho para el denominador. Edit2 El palíndromo de la LHS es: $\{1,2,3,4,1,3,1,4,3,2,1,4\}$, que es el valor subyacente de más a la derecha de la columna de la IZQUIERDA antes de la $5$'s se cruzan. Así, para determinar la importancia de esta observación, he diseñado la fracción en la parte superior del post, crea una corta secuencia de los denominadores, buscado en OEIS, y encontré esta identidad. (Gracias a Gerry Myerson que hizo la prueba a continuación.)

El divisor de la secuencia parece estar relacionado con Mertens del teorema y la definición de la integral de la Hipótesis. Esto es inesperado, con el fin de descubrir la identidad de forma fortuita. Yo no tengo ningún interés en probar este respecto Riemann. Mi único interés es mostrar que el symmetic divisor secuencia predecible.

Mathematica código:

n = 2; Product[1 - 1/Prime[k], {k, n - 1}]/Prime[n] == 
 EulerPhi[Exp[Sum[MangoldtLambda[m], {m, 1, Prime[n] - 1}]]]/
  Exp[Sum[MangoldtLambda[m], {m, 1, Prime[n]}]]

Answer 1

La definición es $$\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p$$ where $p$ runs through primes. That is, it's the sum of $\log p$ over all prime powers $p^k$ not exceeding $x$. So $$e^{\psi(p_n)}=\prod_{p^k\le p_n}p=p_n\prod_{p^k\le p_n-1}p=p_ne^{\psi(p_n-1)}$$ where $p_n$ is the $n$th prime. So, the left side of the identity is $${1\over p_n}{\phi(u)\over u}$$ where $u=e^{\psi(p_n-1)} $. Since $\phi (m) = m\prod_ {p\mid m}(1-p^{-1})$, la identidad es inmediata.