Unicidad de la solución de la ecuación funcional

Question

Tengo una función de $f(x_1,x_2) \colon \mathbb{R}^2_{+} \to \mathbb{R}_{+}$ positivo homogéneo: $$ f(\lambda x_1, \lambda x_2) = \lambda f(x_1,x_2), \; \forall \lambda > 0 $$ y de tal manera que $f(x_1,x_2)$ permisos de descomposición $$ f(x_1,x_2) = h(g(x_1)+g(x_2)) $$ donde $h,g$ son algunas de las funciones continuas. Una de las funciones apropiadas es $$ f_{0}(x_1,x_2), C = (x_1^{\gamma}+x_{2}^{\gamma})^{\frac{1}{\gamma}}, \; \gamma > 0, \; C \geq 0 $$ Hay algunas otras funciones que satisfacen las condiciones especificadas o $f_{0}(x_1,x_2)$ es único?

Actualización Si $h = g^{-1}$ $f_{0}$ es una única familia de soluciones (Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) de las Desigualdades. 2ª ed, página 68).

Answer 1

La condición de $f( \lambda x_1, \lambda x_2) = \lambda f(x_1, x_2)$ $\lambda > 0$ $x_1, x_2 > 0$ $f$ está determinada únicamente por su restricción a $S$, la parte del círculo unitario en el primer cuadrante, es decir,$\{(\cos \theta, \sin \theta): \theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \}$. Trabajando en coordenadas polares, es fácil ver que $f$ es suave iff es la restricción a $S$ es.

Con eso, en $S$, la segunda condición es $f = h(g(\cos \theta) + g(\sin \theta))$, para cualquier elección de continuo $h,g$.

Basta con encontrar una $f$ que no es nada fácil. De hecho, uno debe ser capaz de hacerlo por tomar $g = id$, ten en cuenta el mapa de $(0, \frac{\pi}{2}) \rightarrow \mathbb{R}$ $\theta \mapsto \sin \theta + \cos \theta$ es un local diffeomorphism para $\theta \neq \frac{\pi}{4}$, por lo que basta con retirar $h$ a ser cualquier función continua $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que no es diferenciable en decir que la imagen de $\frac{\pi}{8}$.