Sabemos de Bott Periodicityt que hay un espacio X que $\Omega^2 X \cong X$ (equivalencia de homotopía), pero estos espacios son algo complicados y tengo curiosidad, ¿existe algún ejemplo fácil de un espacio no contractible, trayectoria-conectado X tal que $\Omega^2 X \cong X$?
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Observar que la búsqueda de un espacio de este tipo es equivalente a encontrar una $2$-periódico cohomology de la teoría. De hecho, si usted tiene un espacio de $X$, luego
$E^{2n}(Y) = [Y, X]$, $E^{2n+1}(Y) = [Y, \Omega X]$
es una reducción de la cohomology de la teoría. Por el contrario, si usted tiene un $2$-periódico cohomology teoría de la $E^{*}$, luego por Brown representatividad habrá espacios de $X_{n}, n \in \mathbb{Z}$ tal que
$E^{n}(Y) \simeq [Y, X_{n}]$
y la suspensión axioma, junto con periodicidad, le dará $X_{0} \simeq \Omega ^{2} X_{2} \simeq \Omega ^{2} X_{0}$. Una forma de construir cohomology teorías en masa está llevando $E$ a cualquier cohomology de la teoría y la definición de
$\hat{E}^{n}(Y) = \prod _{k \in \mathbb{Z}} E^{n+2k}(Y)$.
La exactitud y la suspensión de los axiomas son claras, el axioma de aditividad de la siguiente manera a partir de la distributividad de productos. Tenga en cuenta que en el nivel de representación de los espacios, esto equivale a la sustitución de la $X_{n}$$\hat{X}_{n} = \prod _{k \in \mathbb{Z}} X_{n+2k}$.
Para la concreción, vamos a trabajar de lo que sucede en el caso de singular cohomology teoría con coeficientes en $\mathbb{Z}$. Aquí tenemos
$X_{n} = K(\mathbb{Z}, n)$ $n \geq 0$
y
$X_{k} = \Omega ^{-k} K(\mathbb{Z}, 0) = \{ pt \}$ $k < 0$ . Por lo tanto, el "$\Omega^{2}$-periódico" el espacio asociado a este cohomology teoría es $\prod _{n \geq 0} K(\mathbb{Z}, 2n)$.
