Mostrando $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} \ dx = \frac{\pi}{2}$ utilizando complejos de integración

Question

Recientemente tuve que usar el hecho de que la integral de Dirichlet se evalúa como

% $ $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} \ dx = \frac{\pi}{2}$un par de veces.

Ya hay una pregunta que específicamente para que los métodos Mostrar este resultado $\textbf{not}$ utilizando complejos de integración. En esta pregunta me interesa ver la derivación mediante la integración de contorno. (Soy consciente de la entrada de wikipedia, pero estoy buscando con más detalle)

Answer 1

Necesitamos utilizar $f(z) = (e^{iz} - 1)/z$ porque tiene una singularidad desprendible en $z = 0$. Considerar un contorno $C = [-R, R] \cup C_R$ $R > 0$. Entonces $$I \equiv \int_{-R}^R f(z)dz + \int_{C_R} f(z)dz = 0$ $ por Teorema de Cauchy, es decir, $$\int_{-R}^R f(z)dz = \int_{C_R} \frac{1}{z}dz - \int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z}dz$ $ pero $$\int_{C_R} \frac{1}{z}dz = \pi i$ $ y nosotros podemos demostrar que el otro integral va a cero como $R \to \infty$. Por lo tanto, porque %#% $ de #% vemos que $$\int_{-R}^R \frac{\sin x}{x}dx = \operatorname{Im}I,$ $ o $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}dx = \pi$ $

Espero que esto ayude.