Demuestre que la función de Dirichlet no tiene un límite en $0$ con epsilon y delta

Question

Estoy haciendo una pregunta (q-39 del cap 2.4- Cálculo de Stewart) que me pide que demuestre que para la función

$$f(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is rational} \\ 1, & \text{if } x \text{ is irrational} \end{cases}$$

el $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe.

Estoy atascado porque no he tratado los límites de las funciones condicionales utilizando delta épsilon. Entiendo que el inicio de la prueba sería suponer $|f(x)-L|<\epsilon$ . Sin embargo, el conjunto de soluciones sugiere que se deduce que $\epsilon=1/2$ . ¿Cómo puedo conseguir $\epsilon=1/2$ de $|f(x)-L|<\epsilon$ ?

Answer 1

Ok, no $ε-δ$ pero $\lim_{x\to0}\sup f(x)=1$ , $\lim_{x\to0}\inf f(x)=0$ .

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Para probarlo con $ε-δ$ , ver aquí :

Para demostrar que la función no es continua en $0$ necesitamos encontrar un $ε$ de tal manera que no importa lo pequeño que elijamos $δ$ habrá puntos $z$ en $δ$ de $0$ tal que $f(z)$ no está dentro de $ε$ de $f(0) = 0$ . De hecho, $ε=1/2$ es un $ε$ . Debido a que los números irracionales son densos en los reales, no importa lo que $δ$ elegimos siempre podemos encontrar un irracional $z$ en $δ$ de $0$ y $f(z) = 1$ es al menos $1/2$ lejos de $0$ .

Aún así, citando lo anterior enlace :

En términos menos rigurosos, entre dos irracionales cualesquiera hay un racional, y viceversa.

Así que $ε=1/2$ es sólo una elección. Cualquier elección de $0<ε<1$ lo haría, pero $ε=1/2$ es simple.

Answer 2

Argumentemos por contradicción; dejemos $L := \lim_{x \to 0}f(x)$ existe. Si $L \leq 0$ entonces $|f(x) - L| > |L|$ para todos los irracionales $x$ ; si $L \geq 1$ entonces $|f(x) - L| > |L-1|$ para todos los racionales $x$ . Por lo tanto, suponemos $0 < L < 1$ . Entonces hay un poco de $\delta > 0$ tal que $0 < |x| < \delta$ implica $$ |f(x) - L| < \min \{ L, 1-L \}/2, $$ que es imposible (¿por qué?).