Subespacio invariante de dos operadores

Question

Vamos $S$, $T$ lineal de los operadores sobre una finito-dimensional espacio vectorial $V$$\mathbb{C}$. Supongamos $$S^2 = T^2 = I.$$

Mostrar que existe una $1$-dimensional o $2$-dimensiones subespacio de $V$ que es invariante bajo$S$$T$.

Ok, así que, desde $S^2 = T^2 = I$, $1$ o $-1$ son los Autovalores de S y T.

i,e La Mínima Polinomio $M_T$ $M_S$ satisfacer

$$M_T \; | \; (x+1)(x-1)$$ $$M_S \; | \; (x+1)(x-1)$$

Edit : Encontré con la misma pregunta en otros lugares. Para aquellos de ustedes que están interesados en las respuestas.

Subespacio invariante de Dos Lineal de Involuciones

Answer 1

Si S y T comparten un vector propio hemos terminado. En el segundo caso, supongamos que x es eigen vector de S y y es un vector tal que Ty = x. reclamación es {x, y} es invariante bajo S & T. Notó por primera vez eso Sx = x, Ty = x (ahora funcionan T ambos lados) da Tx = y. otra vez S y T son inversos uno mismo aquí. En S ^ 2 = T ^ 2 pre multiplicar por inverso de s y mensaje por inversa T da ST = TS. Así Sy = STx = TSx = Ty = x y Ty = x {x, y} que es invariante bajo la S y T.