De lightface $\Sigma^1_1$ en negrita $\mathbf\Delta^1_1$

Question

Fija algún espacio polaco estándar, por ejemplo, el espacio de Baire. Es una simple observación que cada $\Delta^1_1$ también es $\mathbf\Delta^1_1$ . Es la misma observación que $\Sigma^1_1$ se convierte en $\mathbf\Sigma^1_1$ .

¿Es posible que haya algún $A\in\Sigma^1_1$ no es $\Delta^1_1$ , pero es $\mathbf\Delta^1_1$ ? Si esto es cierto, ¿hay alguna buena caracterización de este fenómeno? ¿Puede $\Sigma^1_1$ ser sustituido por $\Sigma^1_n$ o incluso $\Sigma^2_n$ ?

Answer 1

Sí, es evidente que hay una cara de luz $\Sigma^1_1$ clase que no es lightface $\Delta^1_1$ pero está en negrita $\Delta^1_1$ . Por ejemplo, tome cualquier conjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ esto es lightface $\Sigma^1_1$ pero no a la cara de la luz $\Delta^1_1$ y que la clase sea $X = \{A\}$ es decir, definido por la fórmula $\phi(B) \equiv B = A$ . Esto es una negrita $\Pi^0_1$ definición de la clase $X$ con $A$ como parámetro (porque la igualdad entre reales es $\Pi^0_1$ ). Un ejemplo concreto de este tipo de $A$ es el conjunto de $e \in \mathbb{N}$ tal que $\phi_e$ no es una ordenación de pozos computable.

Al tomar $A$ sea de una complejidad suficientemente alta (por ejemplo, no definible en aritmética de tercer orden, o no en $L$ ) podemos extender el resultado como en la última parte de la pregunta. El punto de la negrita es que se puede utilizar cualquier parámetro que desee, incluso si el parámetro en sí no es definible.

Answer 2

Para una respuesta algo menos trivial en el caso de $\Sigma^1_2$ nota que $L \cap \mathbb{R}$ es un $\Sigma^1_2$ conjunto que no es $\Delta^1_2$ pero si es contable (por ejemplo, si $0^\sharp$ existe) entonces es $\Delta^1_2(x)$ para cada real $x$ codificación $\omega_1^L$ , de manera uniforme en $x$ . Así que los parámetros ordinales son suficientes en cierto sentido.

Answer 3

Hay una caracterización de la teoría de la recursión de este tipo de fenómeno. Basta con fijar un $\Pi^1_1$ -Configurar $A$ . Por el teorema de Gandy-Spector, $A$ puede verse como un conjunto de reales. Si todos los reales de $A$ se pueden enumerar en $A$ por debajo de algún ordinal contable fijo, entonces es Borel. En caso contrario, por la acotación, $A$ no es Borel.

Esto se puede generalizar a $\Pi^1_{2n+1}$ en $PD$ .