Evaluar la integral $\int \sqrt{(x-a)(b-x)}$

Question

Estoy tratando de averiguar cómo evaluar la siguiente integral:

$$\int \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx $$

Lo he intentado varias sustituciones trigonométricas, pero no parecen llegar a ninguna parte. Se trata de un ejercicio de calculo volumen 1 de Apostol (sección 6.22, ejercicio 46). La solución proporcionada en el texto es

$$\frac{1}{4} |b-a|(b-a) \arcsin \sqrt{\frac{x-a}{b-a}} + \frac{1}{4} \sqrt{(x-a)(b-x)} (2x-(a+b)) + C.$$

Answer 1

Aviso, $$\int \sqrt{(x-a)(b-x)}\ dx$$ $$=\int\sqrt{(a+b)x-x^2-ab}\ dx$ $ $$=\int \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-ab}\ dx$ $ $$=\int \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-ab}\ dx$ $ $$=\int \sqrt{\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}\ dx$ $ Informatica sustituyendo $\left(x-\frac{a+b}{2}\right)=t$, uno debe obtener $$=\frac{1}{2}\left[\left(x-\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}+\frac{a^2+b^2}{4}\sin^{-1}\left(\frac{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)\right]$ $

$$=\frac{1}{2}\left[\left(x-\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{(x-a)(b-x)}+\frac{a^2+b^2}{4}\sin^{-1}\left(\frac{2x-a-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\right]$$

Answer 2

$$\sqrt{(x-a)(b-x)} = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab - \left(x^2 - (a+b)x + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \right)}$$

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 $, llamar al $k^2$ $k$. El término restante es $\left(x - \frac{a+b}{2}\right)^2$, y usted puede hacer la sustitución $ u = x - \frac{a+b}{2}$. Por lo tanto se obtiene

$$\int \sqrt{k^2 - u^2} \mathrm{d}u$$

que puede ser resuelto con la sustitución $u = k \sin \theta$.