Cómo entender si es un operador compacto

Question

Cómo entender si es un operador compacto:

$$T:C[0,1]\rightarrow C[0,1] $% $ % # C [0,1] de #%: el espacio de toda función continua en [0,1] con la norma del supremum

$ $ $ Podrias por favor ayudar con esta pregunta.

Answer 1

Dibujo

• Tienes que demostrar que la imagen de la bola de la unidad $B \subset C[0,1]$ es precompact en $C[0,1]$.

• Por el Teorema fundamental del cálculo, tiene una agradable Descripción de $T(B)$.

• Utilizar dicha descripción para mostrar que $T(B)$ es equicontinuous.

• Aplique de Arzelà-Ascoli.

Answer 2

Fix $\varepsilon>0$ y elija $\delta=\varepsilon>0$. Considerar arbitraria $y\in T(B_{C([0,1])})$ $t_1,t_2\in[0,1]$ tal que $|t_2-t_1|<\delta$. Desde $y\in T(B_{C([0,1])})$ existe $x\in B_{C([0,1])}$ tal que $T(x)=y$. Desde $x\in B_{C([0,1])}$, entonces para todos los $s\in [0,1]$ tenemos $|x(s)|\leq\sup_{s\in[0,1]}|x(s)|=\Vert x\Vert\leq 1$. Ahora tenemos la siguiente desigualdad $$ |y(t_2)-y(t_1)| =|T(x)(t_2)-T(x)(t_1)| =\left|\int_{t_1}^{t_2} x(s)ds\right| \leq\int_{t_1}^{t_2} |x(s)|ds $$ $$ \leq\int_{t_1}^{t_2}ds =t_2-t_1 <\delta =\varepsilon $$ Por lo tanto hemos demostrado que $$ \forall \varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall t_1,t_2\in[0,1]\quad\forall y\T(B_{C([0,1])})\quad (|t_2-t_1|<\delta\implica que|y(t_2)-y(t_1)|<\varepsilon) $$ Por Arzela-Ascoli teorema esto significa que $T(B_{C([0,1])})$ es precompact, es decir, $\operatorname{cl}_{C([0,1])} (T(B_{C([0,1])}))$ es compacto. Esto significa que $T$ es compacto.

Answer 3

Ya hay dos buenas respuestas, pero me gustaría escribir otro uno, a pesar de que no contienen ninguna información nueva (simplemente presenta la información de manera diferente):

Para averiguar si este operador es compacto puede aplicar la siguiente versión de la Arzelà-Ascoli teorema:

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio y deje $C(X)$ denotar el espacio de funciones continuas $f: X \to \mathbb R$ dotado con el sup norma $\|\cdot \|_\infty$. A continuación, $S \subseteq C(X)$ es relativamente compacto si y sólo si es pointwise delimitada y equicontinuous.

$S$ es pointwise acotado si para cada $x \in X$: $\sup_{f \in S}|f(x)|<\infty$. $S$ es equicontinuous si para cada a $\varepsilon > 0$ y cada una de las $x \in X$ existe un $\delta_x$ tal que $|x-y|<\delta_x$ implica $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ todos los $f \in S$. Un conjunto $S$ es uniformemente equicontinuous si para cada a $\varepsilon>0$ existe $\delta$ tal que $|x-y|<\delta$ implica que el $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ todos los $f \in S$. Tenga en cuenta que el uniforme equicontinuity implica equicontinuity.

Ahora que hemos establecido las definiciones y teoremas estamos bien:

Un operador $T$ es compacto si $T(\overline{B(0,1)})$ es relativamente compacto (aquí $\overline{B(0,1)}$ es la bola unidad cerrada). Por Arzelà-Ascoli es suficiente para demostrar que $T(\overline{B(0,1)})$ es pointwise delimitada y (uniformemente) equicontinuous.

Para mostrar pointwise acotamiento de $S=T(\overline{B(0,1)})$ deje $t \in [0,1]$. A continuación, para todos los $y \in T(\overline{B(0,1)})$:

$$ |y(t)|= \left |\int_0^t x(s) ds \right | \le \left |\int_0^t \|x\|_\infty ds\right | \le \int_0^t ds \le 1 $$

Por lo tanto, también $$ \sup_{y \in S}|y(t)| \le 1$$

por lo tanto $S=T(\overline{B(0,1)})$ es pointwise limitada.

Se concluye mostrando que $S$ también es uniformemente equicontinuous. Para este fin, vamos a $\varepsilon> 0$. A continuación, para $t,t' \in [0,1]$ (sin pérdida de generalidad supongamos $t \ge t'$) y $y \in S$ :

$$ \begin{align}| y(t)-y(t')| &= \left | \int_0^t x(s) ds - \int_0^{t'}x(s) ds \right | \\ &= \left | \int_{t'}^t x(s) ds \right | \le \int_{t'}^t |x(s)| ds \le \int_{t'}^t \|x\| ds \le |t-t'|\end{align}$$

Por lo tanto para $\delta = \varepsilon$, $ |y(t)-y(t')|<\varepsilon$ y hemos demostrado que $S$ es uniformemente equicontinuous.