¿Estructura de Poisson viene del hamiltoniano?

Question

Estoy interesado en el estudio de cuantización, pero me parece que carecen de los fundamentos de la mecánica clásica. Cualquier ayuda se agradece.

En primer lugar quiero preguntar qué es necesario para tener una sympletic/estructura de Poisson en un clásico sistema mecánico (por ejemplo, un aislado partícula que se mueve sobre algunos de Riemann colector $Q$). Qué se necesita una evolución de la regla para empezar?

Por ejemplo, si tenemos algún ("nice"?) Estructura lagrangiana (esto le da una evolución de la regla), podemos definir el momenta y llegar a las ecuaciones de Hamilton, y construir un Hamiltoniano de flujo en el espacio de fase $P = T^*Q$. Esto nos da una estructura de Poisson para el álgebra de suave observables $C^\infty(P,\mathbf{R})$.

Pero muchos de los libros que parten de una Poisson colector $(P, \{\,,\,\})$ y la entrada de la Hamiltoniana más tarde, o incluso sugieren que puede ser un parámetro, algunos $h\in C^\infty(P,\mathbf{R})$. Esto sugiere que la estructura de Poisson es, de hecho, más de una cinemática de la entidad, en lugar de una forma dinámica (es decir, no tiene a priori en relación con la regla de cómo evolucione el sistema). Es ese derecho? En un ejemplo práctico, ¿cómo podemos siquiera saben lo que la distribución de Poisson estructura sería, si ni siquiera sabemos lo que son los ímpetus?

También, como yo lo veo, el hecho de que uno puede usar un múltiple de Poisson también viene del hecho de que un punto en el espacio de fase determinará el estado (dar una solución a la curva de la moción presentada por el valor inicial de la formulación) sólo si hemos de limitar a nosotros mismos a la evolución de las ecuaciones de segundo orden, lo que significa que algunos de restricción en el Lagrangiano, ¿no?

Por último: Para la cuantización de Poisson colector, qué necesitamos el Hamiltoniano de antemano? O: la cuantificación es la cinemática o dinámica?

Gracias youuu!

Answer 1

Yo también he estado tratando de entender el significado de la cuantización, y han tenido el mismo tipo de preguntas que usted está pidiendo. Así que me gustaría compartir mi propia comprensión acerca de estos.

Primero que todo, cuando nos encontramos con problemas en la mecánica clásica, casi nunca está en que se nos da con un simpléctica o múltiple de Poisson, con una suave Hamiltoniana de la función en ella, de modo que todo lo que tienes que hacer es llevar a cabo formal bien definida, matemática pasos para encontrar las ecuaciones de movimiento. Generalmente encontrar el espacio de fase en sí misma es parte del problema. Y en algunos casos (buenos ejemplos creo que vienen desde el campo de las teorías) podría ser un problema no trivial.

Por otro lado, si algún matemático le da con un clásico problema de mecánica de s/él será, al menos, con los datos {espacio de Fase, Hamilton}, porque matemáticamente esta información es necesaria para definir el problema. Aquí por espacio de fase me refiero a un simpléctica el colector (o puede ser un múltiple de Poisson con una determinada estructura de Poisson).

Llegando a tus preguntas :

En primer lugar quiero preguntar qué es necesario para tener una sympletic/estructura de Poisson en un clásico sistema mecánico (por ejemplo, un aislado partícula que se mueve sobre algunos de Riemann colector de Q). Qué se necesita una evolución de la regla para empezar?

Si quieres trabajar en $TQ$ ("velocidad del espacio"), a continuación, aquí también se puede trabajar en Hamilton (en lugar de la acción) la formulación, pero su estructura simpléctica aquí dependerá de Lagrange. También creo que esta iba a poner algunas condiciones (llamada de ellas, las condiciones A) en Lagrange, de modo que usted puede tener un "buen" simpléctica estructura en $TQ$ (es decir, una linda Hamilton formulación del problema en $TQ$) . A partir de ahora no sé lo que estas condiciones son, pero no debe ser muy difícil de encontrar en ellos a partir de la expresión de la forma simpléctica en términos de Lagrange.

Si, por el contrario, desea trabajar en $T^*Q$ aquí la estructura simpléctica no dependen de la Hamiltoniana. Es por eso que creo que la gente generalmente el estudio de la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica en $T^*Q$ más que en $TQ$ porque aquí simpléctica estructura se fija de una vez por todas y por lo tanto para el estudio de diferentes sistemas físicos, usted sólo tiene que cambiar su Hamiltonianos. Para ir de $TQ$ $T^*Q$una de las necesidades de la transformación de Legendre y para que esto sea posible de Lagrange para satisfacer las necesidades de algunas condiciones (no estoy seguro de lo que (en su caso) es la relación de estas condiciones con las condiciones mencionadas anteriormente; aunque es probable que muchos de ellos están relacionados).

Pero muchos de los libros que parten de una Poisson colector $(P,{,})$ y la entrada de la Hamilton más tarde, o incluso sugieren que puede ser un parámetro, algunos $h\in C^\infty(P,R)$. Esto sugiere que la estructura de Poisson es, de hecho, más de una cinemática de la entidad, en lugar de una forma dinámica (es decir, no tiene un a priori relación con la regla de cómo evolucione el sistema). Es que a la derecha? En un ejemplo práctico, ¿cómo podemos siquiera saben lo que la distribución de Poisson la estructura sería, si ni siquiera sabemos lo que son los ímpetus?

A partir de lo que hemos visto anteriormente se debe tener claro que la estructura simpléctica en el espacio de Fase $T^*Q$ es independiente de la de Hamilton. En $T^*Q$ sabemos en qué posición está y qué impulso es y eso es todo lo que se necesita para definir una estructura simpléctica.

También, como yo lo veo, el hecho de que uno puede usar un múltiple de Poisson también viene del hecho de que un punto en el espacio de fase se determinará el estado (dar una solución a la curva de la moción presentada por el valor inicial formulación) sólo si hemos de limitar a nosotros mismos a la evolución de las ecuaciones de de segundo orden, lo que significa que algunos de restricción en el Lagrangiano, ¿no?

Si el problema clásico se da en la formulación de Lagrange, a continuación, (como se mencionó anteriormente) debe haber algunas condiciones que Lagrangiano debe satisfacer para que el problema tenga formulación Hamiltoniana. Por otra parte, en un espacio de fase matemáticamente que estaría bien elegir cualquier función suave como su Hamiltonianos.

Por último: Para la cuantización de Poisson colector, qué necesitamos el Hamiltoniana de antemano? O: la cuantificación es la cinemática o dinámica?

Usted no necesita saber de Hamilton para la cuantización de su espacio de fase. Cuantización trata a todos los observables en igualdad de condiciones. Sin embargo, hay algunas sutilezas debido a que no todos los objetos se pueden obtener cuantificada. Así, algunos de los pasos de cuantización puede requerir que usted consulte a su Hamiltoniano sólo para asegurarse de que al menos el Hamiltoniano función puede ser asignada a una correspondiente cuántica operador.

Answer 2

Sí, la de Poisson, la estructura determina la parte de la cinemática. Una selección de relevantes observables que abarca una Mentira álgebra bajo el PB (Heisenberg álgebra para un multiparticle sistema, $iso(3)$ rígidos de movimientos, etc.) hace que el resto de la cinemática. En un marco de Lagrange, para Lagrangians en la mayoría de los cuadrática en la primera derivados y no contienen más de derivados, el PB es determinado por la derivada de la parte de la Lagrangiana, por lo tanto está lejos de la fijación de la dinámica.

Una de las necesidades de la distribución de Poisson estructura con el fin de que la dinámica está determinada por la de Hamilton.

La cuantificación es cinemática, demasiado, y no tiene nada que ver con la particular Hamiltonianos. La cuántico-clásica de la correspondencia de la Hamiltoniana es de todos modos válida sólo hasta el $O(\hbar)$, como el mismo clásica $H$ es el límite clásico en $\hbar\to 0$ de muchos cuántica $H$s, y como $\hbar$ es una constante en la Naturaleza.)

Answer 3

La estructura simpléctica es independiente de la de Hamilton, pero a menudo un Hamiltoniano nos da una pista para que simpléctica estructura que debe utilizar.

He aquí lo que quiero decir en más detalle. La forma en que me intuit una estructura simpléctica es como una polarización de la 2n coordenadas del colector en n posiciones y n conjugado momenta. Esto no debería depender de la de Hamilton, que sólo me dice que la energía de una configuración, pero el Hamiltoniano será más fácil de manipular con una buena elección de la polarización.

Una estructura simpléctica es especificado por una degenerada real cerrada 2-formulario de $\omega$. Podemos relacionar esto con el corchete de Poisson de la siguiente manera. Dada una función de $f:M\rightarrow\mathbb{R}$ sobre el espacio de fase $M$, ya que el $\omega$ es no degenerada podemos encontrar un único campo de vectores $X_f$ tal que $\omega(X_f, -)=df(-)$ 1-formas. Luego se da otro $g:M\rightarrow\mathbb{R}$, podemos definir a la $\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)$.

Hasta ahora todo es independiente del tiempo. En este simpléctica perspectiva, la noción de tiempo debe ser un flujo en $M$, por lo que, dada una función de $f$ $M$ como antes, podemos formar un parámetro 1-familia de funciones $f(t)$ tal que $\frac{df}{dt}$ sólo depende de $f$. Una forma de hacer esto es para especificar una función de $H:M\rightarrow\mathbb{R}$ y declarar $\frac{df}{dt}=\{H,f(t)\}$. También podríamos tomar un parámetro 1-la familia de Hamiltonianos $H(t)$ y hacer la misma cosa.

Por último, es importante tener en cuenta que nuestro espacio de fase muchas veces no es la cotangente del paquete cuando tenemos simetrías o restricciones. Sin embargo, hay un teorema de Darboux que dice que la forma simpléctica siempre se ve localmente como el natural de la forma simpléctica en la cotangente de un paquete.