¿Por qué es $ \int_0 ^3 \frac {1}{ \sqrt {x-3}}\, \mathrm {d}x$ un número complejo?

Question

Esta es mi primera pregunta en este sitio, así que por favor perdone cualquier error de formato matizado.

Mi amigo y yo estuvimos discutiendo la siguiente integral ayer:

$$ \int_0 ^3 \frac {1}{ \sqrt {x-3}} \, \mathrm {d}x$$

Descubrí que la integral evalúa a $-2i \sqrt {3}$ Esto me confunde. Cuando estudié cálculo 1, me enseñaron que la integral definida puede ser pensada como una forma de calcular el "área bajo la curva" o la acumulación de un valor. ¿Cómo puede un área tener un valor complejo?

Por lo tanto, sé que mi comprensión conceptual de las integrales es defectuosa. ¿Cómo puedo reconciliar el concepto de "área" con un valor complejo? O, ¿cuál es una "mejor" (a falta de una palabra mejor) manera de conceptualizar la integral?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

El área bajo la idea de la curva se aplica a las funciones de valor real. Esta función es imaginaria para casi todos los valores del área de integración.

Answer 2

La verdad es que el concepto en tu mente (es decir, área geométrica e integración) se aplica a las funciones escalares reales con una sola variable, mientras que no estás integrando una función real.

En su caso, asumiendo la función integradora ( $1/ \sqrt {x-3}$ ) para ser una función escalar real, no está definida en el intervalo de integración $(0,3)$ . Pero, si asumes que es una función compleja como $f(z)=1/ \sqrt {z-3}$ entonces puedes integrarla a lo largo de ese intervalo, y por supuesto, obtendrás un resultado imaginario ya que la función tiene valores puramente imaginarios a lo largo del intervalo de integración. Obviamente, si cambias la función integradora a $g(x)=1/ \sqrt {3-x}$ entonces el resultado sería un número real equivalente al área geométrica que estás buscando.

Answer 3

$ \newcommand { \angles }[1]{ \left\langle\ ,{#1}\, \right\rangle } \newcommand { \braces }[1]{ \left\lbrace\ ,{#1}\, \right\rbrace } \newcommand { \bracks }[1]{ \left\lbrack\ ,{#1}\, \right\rbrack } \newcommand { \dd }{ \mathrm {d}} \newcommand { \ds }[1]{ \displaystyle {#1}} \newcommand { \expo }[1]{\, \mathrm {e}^{#1}\,} \newcommand { \half }{{1 \over 2}} \newcommand { \ic }{ \mathrm {i}} \newcommand { \iff }{ \Longleftrightarrow } \newcommand { \imp }{ \Longrightarrow } \newcommand { \Li }[1]{\, \mathrm {Li}_{#1}} \newcommand { \ol }[1]{ \overline {#1}} \newcommand { \pars }[1]{ \left (\,{#1}\, \right )} \newcommand { \partiald }[3][]{ \frac { \partial ^{#1} #2}{ \partial #3^{#1}}} \newcommand { \ul }[1]{ \underline {#1}} \newcommand { \root }[2][]{\, \sqrt [#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand { \totald }[3][]{ \frac { \mathrm {d}^{#1} #2}{ \mathrm {d} #3^{#1}}} \newcommand { \verts }[1]{ \left\vert\ ,{#1}\, \right\vert }$

Tu problema está "bien definido" una vez que especificas la $ \ds { \root {z - 3}}$ branch-cut . Por ejemplo, $$ \root {z - 3} = \root { \verts {z - 3}} \exp\pars {{\, \mathrm {arg} \pars {z - 3} \over 2}\, \ic } \,, \quad z \not = 3\,, \quad 0 < \, \mathrm {arg} \pars {z - 3} < 2 \pi $$ y el corte de la rama es a lo largo del "segmento de línea $$ \braces {z = 3 + r \expo { \ic\alpha }\,, \quad r \geq 0\,, \quad 0 \leq \alpha < \pi\quad \mbox {or} \quad \pi < \alpha < 2 \pi } $$

---

En ese caso, \begin {alinear} & \color {#f00}{% \int_ {0}^{3}{ \dd x \over \root { \verts {x - 3}} \expo { \ic\pars { \pi - \alpha }}/2}} = - \ic\expo { \ic\alpha /2} \int_ {0}^{3}{ \dd x \over \root {3 - x}} = \color {#f00}{-2 \root {3} \expo { \ic\alpha /2}\,\, \ic } \end {alinear}

El resultado $ \ds {-2 \root {3}\, \ic }$ se da para un corte de rama a lo largo del "eje real positivo". A saber, $ \ds { \braces {z = x + 0 \ic\ ,, \quad x \geq 3}}$ que es equivalente a $ \ds { \alpha = 0}$ .

Answer 4

Aviso para $0 \le x \le 3$ entonces $x - 3 \le 0$ así que $ \sqrt {x - 3} = \sqrt {-1*(3 - x)} = i \sqrt {3 - x}$ es estrictamente $0$ o puramente imaginario.

Así que $ \int_ {0}^3 \frac 1{ \sqrt {x - 3}} dx = \int_ {0}^3 \frac 1{i \sqrt {3-x}} dx = \frac 1i \int_ {0}^3 \frac 1{ \sqrt {3-x}} dx$ .

Ahora $ \int_ {0}^3 \frac 1{ \sqrt {3-x}} dx= - \sqrt {3-x}|_{0}^3= \sqrt {3} $ es puramente real, $ \frac 1i $ (que es igual a $-i$ Por cierto, es puramente imaginario, así que $ \int_ {0}^3 \frac 1{ \sqrt {x - 3}} dx = \int_ {0}^3 \frac 1{i \sqrt {3-x}} dx = \frac 1i \int_ {0}^3 \frac 1{ \sqrt {3-x}} dx = -i \sqrt {3}$ es puramente imaginario.