Base local de un espacio vectorial topológico

Question

Me gustaría demostrar que si $B$ es la base local de un espacio vectorial topológico $X$ , entonces cada miembro de $B$ contiene el cierre de algún miembro de $B$ .

Agradecería si alguien me puede guiar en este problema. Todavía tengo problemas para entender varios conceptos primarios.

Answer 1

Ya que has leído el análisis funcional de Ridin, me referiré a sus teoremas.

Dejemos que $U\in B$ sea alguna vecindad de cero y elemento de la base $B$ . Considere la posibilidad de un compacto $K=\{0\}$ y el conjunto cerrado $C=X\setminus U$ . Por el corolario del teorema 1.10 existen vecindades de cero $V$ tal que $\overline{(K+V)}\cap (C+V)=\varnothing$ .

Supongamos que, $\overline{(K+V)}\cap C\neq\varnothing$ entonces existe $c\in C$ tal que $c\in \overline{(K+V)}$ . Desde $C\subset C+V$ entonces tenemos $c\in C+V$ tal que $c\in \overline{(K+V)}$ . Esto significa que $\overline{(K+V)}\cap(C+V)\neq\varnothing$ . Contradicción, por lo tanto $\overline{(K+V)}\cap C=\varnothing$ .

Desde $\overline{(K+V)}\cap C=\varnothing$ entonces $\overline{K+V}\subset X\setminus C=U$ . Desde $K=\{0\}$ entonces $\overline{(K+V)}=\overline{V}$ , por lo que obtenemos $\overline{V}\subset U$ . Desde $B$ es una base local de cero, entonces existe $W\in B$ tal que $W\subset V$ . Como consecuencia $\overline{W}\subset\overline{V}\subset U$ . Así, para cada $U\in B$ encontramos $W\in B$ tal que $\overline{W}\subset U$ .

Answer 2

¿Ha aprendido que (a $T_0$ ) el espacio vectorial topológico es regular?

Si es así, puedes utilizar el siguiente lema para demostrar tu afirmación.

Lema: Un espacio topológico $X$ es regular si para cada $x\in X$ y conjunto abierto $\mathcal{O}$ que contiene $x$ existe un conjunto abierto $\mathcal{U}$ tal que $x\in\mathcal{U}\subseteq \overline{\mathcal{U}}\subseteq \mathcal{O}$ .