Conjetura $_2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,\frac13\right)=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]4}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}}$

Question

El uso de un numérica de la búsqueda en mi equipo he descubierto el siguiente desigualdad: $$\left|\,{_2F_1}\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,\frac13\right)-\rho\,\right|<10^{-20000},\tag1$$ donde $\rho$ es el positivo de la raíz de la ecuación polinómica $$12\,\rho^8-12\,\rho^4-8\,\rho^2-1=0,\tag2$$ que puede ser expresado en radicales: $$\rho=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]{4\vphantom{\large1}}}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}}.\tag3$$ Basado en esta desigualdad suponemos que la diferencia real es exactamente cero, es decir, $$\color{#808080}{_2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,\frac13\right)=\rho}.\tag4$$ Miré hacia arriba en DLMF y MathWorld, pero no se conoce un valor especial, con exactamente estos parámetros. También parece que el CAS como Maple o Mathematica no conocen a esta identidad.

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Podría usted por favor, sugerir algunas ideas de cómo probar la conjetura $(4)$?

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Actualización: me puede proponer, incluso, más general conjetura: $$\color{#808080}{27\,(x-1)^2\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;x\right)^8+18\,(x-1)\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;x\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;x\right)^2=1}$$

Answer 1

Vamos a empezar con este Pfaff transformación de $\,a=\frac 14,b=\frac34,c=\frac23$ : $$\tag{1}_2F_1\left(a,b\;;c\;;z\right)=(1-z)^{-a}\;_2F_1\left(a,c-b\;;c\;;\frac z{z-1}\right)$$

El 'Darboux evaluación' $(42)$ de Vidunas' "Transformaciones algebraicas de Gauss funciones hipergeométricas" es : $$\tag{2}_2F_1\left(\frac14,-\frac 1{12};\,\frac23;\,\frac {x(x+4)^3}{4(2x-1)^3}\right)=(1-2x)^{-1/4}$$

La solución de $\,\displaystyle\frac {x(x+4)^3}{4(2x-1)^3}=\frac z{z-1}\,$ le da : $$\tag{3}z=\frac{x(x+4)^3}{(x^2-10x-2)^2}$$ que vamos a utilizar como : $$\tag{4}z-1=\frac {4(2x-1)^3}{(x^2-10x-2)^2}$$

mientras que $(1)$ $(2)$ volver : $$_2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,z\right)=\left[(z-1)(2x-1)\right]^{-1/4}$$

así que :

$$_2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,z\right)=\left[\frac{4\,(2x-1)^4}{(x^2-10x-2)^2}\right]^{-1/4}$$ y (con un signo menos) : $$\tag{5}_2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,z\right)^2=-\frac{x^2-10x-2}{2\,(2x-1)^2}$$ y, de hecho, la sustitución de $(z-1)$ $_2F_1()^2$ $(4)$ $(5)$ en su fórmula se obtiene : $$27\,(z-1)^2\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^8+18\,(z-1)\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^2=1$$

Muchas otras fórmulas de este tipo puede ser deducido utilizando Vidunas' de papel.

Answer 2

La edición de enero de Avisos tiene un artículo por Frits Beukers. No hay un criterio para decidir si ciertas funciones hipergeométricas son algebraicas. La comprobación de estos números en el Teorema 2 de ese artículo, nos encontramos con que $${}_2F_1\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z\right)$$ es una expresión algebraica de la función de $z$.$^*$ También menciona a la lista de H. A. Schwarz, de 1873; no he de verificación, pero esto es probablemente en ella.

$^*$ De curso Raymond encontrado (mucho más que en su solución.