Un aumento exponencial de la familia se define mediante dos ingredientes: - una base de la densidad de $q_0(x)$ - un número suficiente de estadísticas de $S_i(x)$
La familia es toda probabilidad densidades que puede ser escrito como: $$ q(x| (\lambda)_i ) \propto q_0(x) \exp \left( \sum_i \lambda_i S_i(x) \right) $$
Es bien sabido que la relación entre los parámetros de $ (\lambda_i) $ y el valor esperado de la suficiente estadísticas: $$ E_q( S_i(x) | (\lambda_i) ) = \frac{\int S_i (x) q_0(x) \exp \left( \sum_i \lambda_i S_i(x) \right) dx}{ \int q_0(x) \exp \left( \sum_i \lambda_i S_i(x) \right) dx} $$ es un bijection.
Mi pregunta es si este bijection además llega a "todos los valores posibles" para $E_q( S_i(x) | (\lambda_i) )$. En mi pregunta original, me dio una muy mala definición de este conjunto de "todos los valores posibles", lo que hizo de modo que la respuesta a mi pregunta fue, algo trivial, no.
Para definir, "todos los valores posibles", debemos tener en cuenta que la imagen del vector de valores de la función:
$$ x \rightarrow \mathbf{S}(x) $$
Un valor en $\mathbb{R}^d$ puede ser alcanzado por el valor esperado de $\mathbf{S}$ bajo de densidad de probabilidad $p(x)$ si y sólo si se encuentra en el casco convexo de la imagen de $\mathbf{S}$.
La pregunta entonces es: ¿cuándo es el valor esperado de $\mathbf{S}$ dentro de la exponencial de la familia también tienen esta propiedad de abarca todo el casco convexo de la imagen de $\mathbf{S}$ ?
He aquí dos ejemplos:
El gaussiano de la familia en n-dimensiones: la de suficientes estadísticas son todos de primer y segundo momentos. De hecho, es el caso que todos los de primera y segunda momentos puede ser alcanzado por una Gaussiana.
La exponencial de la familia: $$ q(x|\lambda) = exp( - |x| + \lambda x^2 ) $$
no llegue a todos los valores para el segundo momento: valores bajo el límite inferior en $\lambda=0$ no alcanzado.
Este segundo ejemplo me hace pensar que los problemas se producen en las colas, si se producen en todos, pero tal vez que la intuición es malo.
