Tengo que encontrar el radio de convergencia de la energía de la serie de $\sum a_n z^n$ donde $ a_n =$ número de divisores de a $n^{50}$.
Las opciones disponibles son:
$1$
$50$
$\frac{1}{50}$
$0$
Por favor, sugiera cómo proceder.
Utilizando el hecho de que $ d(n)\leq n$,$d(n^{50})\leq n^{50}$.
El uso de la Primera Prueba de Comparación, la serie de la derecha converge si $\mid{z}\mid< 1$ y sin embargo no converge si $\mid{z}\mid\geq 1$ y por lo tanto también lo hace la serie de la izquierda. El radio de Convergencia es 1.
[Ahora para $a_n =n$, $ R = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac {a_n}{a_{n+1}} =1. $
Así,la serie de la derecha converge para $\mid z \mid<1$]
Ahora si $ z=1$, entonces la serie $\sum a_n z^n$ toma la forma $\sum d(n^{50})$ y ya
$ d(n^{50})\geq 1 $, mediante la evocación de la prueba de comparación de nuevo, la serie diverge para $z=1$.
