Evaluación directa del integral elíptico completo

Question

En los comentarios a esta pregunta, @RobertIsrael afirmó que, para $-1<x<1$, $$ \int_0^{2\pi} \frac{1-x \cos(\phi)}{\left(1 - x 2 \cos(\phi) + x^2\right)^{3/2}} \mathrm{d} \phi = \frac{4}{1-x^2} \operatorname{E}(x^2) \etiqueta{1} $$ donde $E(m)$ es la integral elíptica de segunda especie: $E(m) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-m \sin^2(\theta)} \mathrm{d} \theta$.

Es fácil comprobar que la expansión de la serie de el integrando, integrado plazo-sabio, está de acuerdo con la expansión de la serie de Robert elegante respuesta.

Estoy muy interesado si hay una manera directa de establecer $\text{eq. (1)}$ a partir de la integral.

Answer 1

El primer paso hacia el objetivo es llevar a cabo una transformación racional. Como en la pregunta anterior, el uso de la simetría $\phi \to (2\pi - \phi)$ y el cambio de las variables de $t = \sin^2\left(\phi/2\right)$: $$ \mathcal{I} = \int_0^{2 \pi} \frac{1-x \cos(\phi)}{\left(1-2 x \cos(\phi) + x^2\right)^{3/2}} \mathrm{d} \phi = \frac{2}{(1-x)^2} \int_0^1 \frac{1+\frac{ x 2}{1-x} t}{1+\frac{4x}{(1-x)^2} t} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{ t(1-t)\left( 1+\frac{4x}{(1-x)^2} t\right)}} $$ Ahora, realizar un racional sustitución: $$ t = \frac{1-x}{2} \frac{y+1}{1 - x, y} \qquad \text{con} \qquad \mathrm{d} t = \frac{1-x^2}{( 1-x)^2} \frac{\mathrm{d} y}{2} $$ que los mapas de $0 <t<1$ a $-1<y<1$. Con: $$ t (1-t) \left( 1+\frac{4x}{(1-x)^2} t\right) = \frac{(1+x)^2}{4 (1-x)^4} (1-y^2) (1 - x^2 y^2) $$ y $$ \frac{1+\frac{ x 2}{1-x} t}{1+\frac{4x}{(1-x)^2} t} = \frac{1-x}{1+ x, y} $$ La combinación y el uso de $1-x>0$$1-x y>0$: $$ \mathcal{I} = \frac{2}{1-x} \int_{-1}^1 \frac{(1-x)^2}{(1+ x y)} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{(1-y^2)(1-x^2 y^2)}} = 2(1-x) \int_{-1}^1 \frac{1}{1 + x, y} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{(1-y^2)(1-x^2 y^2)}} $$ La integral anterior se reduce a la forma racional con la sustitución de $y = \operatorname{sn}(u| x^2)$ donde $\operatorname{sn}(u|m)$ representa la Jacobi elíptica función seno. En efecto: $$ (1-y^2)(1-x^2 y^2) = \left( 1- \operatorname{sn}^2(u|x^2)\right)\left( 1 - x^2 \operatorname{sn}^2(u|x^2)\right) = \operatorname{cn}^2(u|x^2) \operatorname{dn}^2(u|x^2) $$ $$ \mathrm{d} y = \operatorname{cn}(u|x^2) \operatorname{dn}(u|x^2) \mathrm{d} u $$ La sustitución de los mapas de $-1<y<1$ a $-K(x^2) < u < K(x^2)$ donde $K(x^2)$ es la integral elíptica completa de primera especie, y tanto $\operatorname{cn}(u|x^2) > 0$ $\operatorname{dn}(u|x^2) > \sqrt{1-x^2} > 0$ en este intervalo: $$ \mathcal{I} = \int_{-K(x^2)}^{K(x^2)} \frac{2(1-x) \mathrm{d}}{1 + x \operatorname{sn}(u| x^2) } = \frac{2}{1-x^2} \left. \left(\operatorname{E}\left( \operatorname{am}(u|x^2), x^2\right) + x \frac{\operatorname{cn}(u|x^2) \operatorname{dn}(u|x^2) }{1+ x \operatorname{sn}(u|x^2)} \right) \right|_{-K(x^2)}^{K(x^2)} $$ Desde $\operatorname{cn}\left( \pm K(x^2)| x^2\right) = 0$, e $\operatorname{am}(\pm K(x^2)| x^2) = \pm \frac{\pi}{2}$ llegamos al resultado deseado: $$ \mathcal{I} = \frac{4}{1-x^2} \operatorname{E}(x^2) $$

Answer 2

Siguiendo con mis comentarios,

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{1-x \cos\phi}{\left(1 - 2 x \cos\phi + x^2\right)^{3/2}} \mathrm{d} \phi &= \left[\int_0^{2\pi} \frac{d-x \cos\phi}{\left(d^2 - 2 dx \cos\phi + x^2\right)^{3/2}} \mathrm{d} \phi\right]_{d=1} \\ &= \left[-\frac{\partial}{\partial d}\int_0^{2\pi} \frac1{\left(d^2 - 2 dx \cos\phi + x^2\right)^{1/2}} \mathrm{d} \phi\right]_{d=1} \\ &= \left[-\frac{\partial}{\partial d}\int_0^{2\pi} \frac1{\left((d-x)^2 +4dx\sin^2\dfrac\phi2\right)^{1/2}} \mathrm{d} \phi\right]_{d=1} \\ &= \left[-4\frac{\partial}{\partial d}\int_0^{\pi/2} \frac1{\left((d-x)^2 +4dx\sin^2\theta\right)^{1/2}} \mathrm{d} \theta\right]_{d=1} \\ &= \left[-4\frac{\partial}{\partial d}\frac{K\left(\dfrac{2\mathrm i\sqrt{dx}}{|d-x|}\right)}{|d-x|} \right]_{d=1} \;. \end {Alinee el} $$

No estoy seguro si esto nos lo pone más cerca del resultado, pero puedes probar usando la derivada y ecuación diferencial dada en Wikipedia, teniendo en cuenta que $k=\dfrac{2\mathrm i\sqrt{dx}}{|d-x|}$ conduce a $\sqrt{1-k^2}=\dfrac{d+x}{|d-x|}$.