Relación entre la conectividad y continuidad

Question

Que $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$.

1. $f$ es continua,
2. La gráfica de $f$ conecta de $\mathbb R^{n+1}$

Definimos "conectado" que no se puede separar por 2 desunido no vacío sistema abierto.

Mi pensamiento es que continua es más fuerte. Porque

$f(x) = sin(1/x)$ cuando $x\neq 0$ $f(0)=0$ es conectado pero no continua.

¿Cómo probar implica la continua conectado?

Answer 1

Estás en lo correcto.

a) Si $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}$ es continua, entonces la gráfica de $f$ es la ruta de acceso conectado, donde conectado (ver aquí, por ejemplo).

Prueba: si $(x,f(x))$ $(y,f(y))$ son dos puntos en la gráfica, entonces $$ t\longmapsto ((1-t)x+ty,f((1-t)x+ty)) $$ es un camino continuo que conecta ellos dentro de la gráfica. QED.

b) Su ejemplo es grande. Este gráfico está conectado y la función es aún discontinuo.

Nota: debo añadir que, en general, si $f:C\longrightarrow X$ es continua, y si $C$ está conectado, entonces la gráfica de $f$ está conectado en $C \times X$ como la imagen continua de $C$ bajo $x\longmapsto (x,f(x))$. Esto es debido a que preserva la continuidad de la conectividad.

Answer 2

Me recuerda a un problema de cortar una crepe de forma arbitraria en mitad de una rebanada de línea. La idea de la solución se basa en la definición de Cauchy de la continuidad.