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Relación entre la conectividad y continuidad

Que f:RnR.

  1. f es continua,
  2. La gráfica de f conecta de Rn+1

Definimos "conectado" que no se puede separar por 2 desunido no vacío sistema abierto.

Mi pensamiento es que continua es más fuerte. Porque

f(x)=sin(1/x) cuando x0 f(0)=0 es conectado pero no continua.

¿Cómo probar implica la continua conectado?

6voto

Jim Petkus Puntos 3447

Estás en lo correcto.

a) Si f:RnR es continua, entonces la gráfica de f es la ruta de acceso conectado, donde conectado (ver aquí, por ejemplo).

Prueba: si (x,f(x)) (y,f(y)) son dos puntos en la gráfica, entonces t((1t)x+ty,f((1t)x+ty)) es un camino continuo que conecta ellos dentro de la gráfica. QED.

b) Su ejemplo es grande. Este gráfico está conectado y la función es aún discontinuo.

Nota: debo añadir que, en general, si f:CX es continua, y si C está conectado, entonces la gráfica de f está conectado en C×X como la imagen continua de C bajo x(x,f(x)). Esto es debido a que preserva la continuidad de la conectividad.

1voto

DVD Puntos 295

Me recuerda a un problema de cortar una crepe de forma arbitraria en mitad de una rebanada de línea. La idea de la solución se basa en la definición de Cauchy de la continuidad.

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