Estás en lo correcto.
a) Si f:Rn⟶R es continua, entonces la gráfica de f es la ruta de acceso conectado, donde conectado (ver aquí, por ejemplo).
Prueba: si (x,f(x)) (y,f(y)) son dos puntos en la gráfica, entonces
t⟼((1−t)x+ty,f((1−t)x+ty))
es un camino continuo que conecta ellos dentro de la gráfica. QED.
b) Su ejemplo es grande. Este gráfico está conectado y la función es aún discontinuo.
Nota: debo añadir que, en general, si f:C⟶X es continua, y si C está conectado, entonces la gráfica de f está conectado en C×X como la imagen continua de C bajo x⟼(x,f(x)). Esto es debido a que preserva la continuidad de la conectividad.