Factorial y exponencial doble identidades

Question

Hay dos identidades que tienen una aparente doble correspondencia:

$$e^x = \sum_{n\ge0} {x^n\over n!}$$

y

$$n! = \int_0^{\infty} {x^n\over e^x}\ dx.$$

Hay algo para esta comparación? (Yo recuerdo vagamente una generación de función/integración de la correspondencia)

Hay cantidad similar y la integración de los pares para otros bien conocidos (o no tan conocidos) funciones?

Answer 1

Existe una estrecha relación entre las dos identidades, pero no sé si la exacta similitud formal es otra cosa que un puro coincidencia a lo largo de las líneas de la estudiante de Segundo año del sueño (aunque yo podría estar equivocado acerca de esto). Primera nota de que la segunda identidad puede ser escrito como

$$1 = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \frac{x^n}{n!} \, dx$$

y por lo tanto es equivalente a la identidad

$$\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{x^n}{n!} \, dx = \int_0^{\infty} e^{-x} e^{tx} \, dx.$$

que es una aplicación de la identidad de la primera. (Esta nueva identidad es fácil de demostrar, ya que el integrando es sólo $e^{(t-1)x}$, por lo que tiene antiderivada $\frac{1}{t-1} e^{(t-1)x}$ y la identidad que sigue aquí.)

Sé de interesantes explicaciones de las dos identidades por separado que están de alguna manera relacionados, pero no a otra conexión directa como la de arriba: para la primera sede de matemáticas.SE pregunta y para el segundo a ver esto de matemáticas.SE pregunta.

Answer 2

He aquí una generalización de la doble identidad, descrito por el OP. Se requiere de $n \geq m$ de la integral.

$$(1) \hspace{1cm} x^m e^x = \sum_{n=0}^{\infty} n^{\underline{m}}\frac{x^n}{n!},$$

$$(2) \hspace{0.6cm} \frac{n!}{n^{\underline{m}}} = \int_0^{\infty} \frac{x^n}{x^m e^x} dx.$$

La ecuación (1) puede escribirse $$x^m e^x = \sum_{n=m}^{\infty} \frac{x^n}{(n-m)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+m}}{n!},$$ que sigue inmediatamente a partir de la suma en el OP pregunta.

La ecuación (2) es $$(n-m)! = \int_0^{\infty} \frac{x^{n-m}}{e^x} dx,$$ , que es también sencillo.

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OP frecuentes en los comentarios cómo se me ocurrió esto. Es un poco rotonda, en realidad. Yo estaba pensando en la pregunta "¿hay una integral definida que la suma de Riemann se puede calcular, pero para el que no hay forma cerrada antiderivada?" y se preguntaba si una forma de construir una respuesta sería encontrar una interesante suma que sabemos cómo evaluar y que también podría ser expresada como una suma de Riemann, pero para los que la correspondiente integral no tenía forma cerrada. Que finalmente me llevó a la página de la Wikipedia matemático de la serie, y en especial esta sección en serie con factorial denominadores, que tiene su infinita suma como el primer ejemplo. Me acordé de tu pregunta (que me había marcado con una estrella como un favorito) y me preguntaba si algunos de los otros ejemplos podrían ser utilizados para la construcción de respuestas a su pregunta. La suma de $\sum_{m=0}^{\infty} m x^m = xe^x$ trabajaba, y yo pensé que podría tener una generalización de sus identidades, pero entonces la suma de $\sum_{m=0}^{\infty} m^2 x^m = (x+x^2) e^x$ no lo hizo. La página menciona que algunos de los ejemplos no pueden ser considerados como momentos de una distribución de Poisson. Entonces me acordé de que el factorial de los momentos de una distribución de Poisson ($x$) distribución son mucho más sencillos que los de costumbre momentos; el factorial momentos son los poderes de $x$. Lo he comprobado, y que resultó ser el derecho de la generalización.

En cuanto al significado, no estoy seguro. Sin embargo, si usted lee George Lowther la respuesta o Benja la respuesta a la segunda pregunta vinculada a Qiaochu de Yuanes, la respuesta a su pregunta puede ver la distribución de Poisson y su relación con la distribución gamma destacó. Que podría ser la fuente de la relación para la generalización, así como para el par original de identidades.