¿Cuál es la relación de $\int f dx^1\wedge dx^2\wedge ...\wedge dx^n=\int f dx^1...dx^n$

Question

En un libro de "cálculo sobre variedades" se define que $\int f dx^1\wedge dx^2\wedge ...\wedge dx^n=\int f dx^1...dx^n$ pero como es posible relacionar el integrando de una función multilineal (forma n-diferencial) con la integral de remann. cuando estoy aprendiendo la integración de remann, consideré $dx$ como una distancia infinitesimal aunque el profesor no explicó aisladamente lo que $dx$ es. No veo bien la relación entre la integral de remann y los tensores

Answer 1

Este es un definición . Véase la parte inferior de la pg. 100 del libro de Spivak.

Si $\omega$ es un $k$ -formar en $[0,1]^k$ hay un único $f$ tal que $\omega = f dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^k$ . Entonces, defina $$\int_{[0,1]^k} \omega := \int_{[0,1]^k} f$$ o $$\int_{[0,1]^k} f dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^k= \int_{[0,1]^k} f(x^1,\cdots,x^k)dx^1\cdots dx^k$$