Hacer cualquier tratados sobre el análisis real de tomar los siguientes como la base de la integridad axioma para los reales?
"Vamos a $A$ $B$ ser el conjunto de los números reales tales que (a) todo número real es de $A$ o en $B$; (b) ningún número real es de $A$ y en $B$; (c) ninguna de las $A$ ni $B$ está vacía; (d) si $\alpha \in A$, e $\beta \in B$,$\alpha < \beta$. Luego hay uno (y sólo uno) número real $\gamma$ tal que $\alpha \leq \gamma$ todos los $\alpha \in A$, e $\gamma \leq \beta$ para todos los $\beta \in B$."
Esto aparece como Teorema 1.32 en Walter Rudin "Principios de Análisis Matemático", y se remonta a Dedekind "Continuidad y Números Irracionales" (sección V, subsección IV). Ambos Rudin y Dedekind se derivan de este resultado a partir de la construcción de los reales a través de los recortes de los racionales.
Autores que prefieren axiomatize los reales directamente (en lugar de construirlos a partir de los racionales) se podría esperar para considerar la propiedad como un axioma, pero no he encontrado a nadie que haga esto. En su lugar, todos ellos asumen la menor cota superior de la propiedad, como un axioma, o el anidado de propiedad de intervalo, o la convergencia de Cauchy secuencias.
Yo personalmente creo que el camino a seguir es tomar Rudin del Teorema 1.32 como un axioma (porque es simple y convincente) y a continuación se derivan de la menor cota superior de la propiedad (ya que es más útil en la práctica de 1.32) y, a continuación, empezar a trabajar la construcción del aparato de análisis real. Pero dejando a un lado la cuestión de si este es el camino a seguir: tienes cualquier autores adoptado este enfoque?
Debo remarcar que el geométrica análogo del Teorema 1.32, la caracterización de la integridad de la línea, parece ser bien conocido para los geómetras (especialmente aquellos interesados en los fundamentos de la geometría; véase, por ejemplo, Marvin Jay Greenberg muy buen artículo en el Marzo de 2010 de la publicación Mensual).
