Condición de primer orden UFD (anillo factorial) / anillos pre-Schreier

Question

Todos los anillos en este post son conmutativas y con $1$.

Todo el mundo sabe que la definición de factorial anillo, un. k. una. único de la factorización de dominio (UFD). Me han estado preguntando acerca de algunas variaciones con respecto a esta noción.

(a) Un anillo de $R$ se llama pre-pre-Schreier (este es mi nomenclatura) si y sólo si para cualquiera de los cuatro elementos $a$, $b$, $c$, $d$ de $R$ satisfacción $ab = cd$, podemos encontrar cuatro elementos $x$, $y$, $z$, $w$ en $R$ tal que $a = xy$, $b = zw$, $c = xz$, $d = yw$.

(b) Un anillo de $R$ se llama pre-Schreier si es pre-pre-Schreier y un integrante de dominio. (Este no es mi nomenclatura.)

Es fácil ver que un Noetherian anillo es un UFD si y sólo si es pre-Schreier; por otro lado, la condición de un anillo de ser pre-Schreier es una de primer orden de la fórmula de la lógica (si estoy en lo correcto; yo no soy un experto en lógica). De hecho, esta fue mi motivación para considerar pre-Schreier anillos: la primera orderize la UFD condición. (Hay una lógica de primer orden de la fórmula que es equivalente a UFD siempre, no importa si el anillo es Noetherian o no?) Como para la pre-pre-Schreier anillos, yo sólo estaba tratando de ver qué pasa si dejamos fuera la condición de dominio.

De acuerdo a este documento (Nota 4.6. (1)), el polinomio anillo de $R\left[X\right]$ a través de una pre-Schreier anillo de $R$ no tiene que ser pre-Schreier. Mis preguntas ahora son:

(1) Si un Noetherian anillo de $R$ es pre-pre-Schreier, entonces ¿qué puede decirse acerca de la $R\left[X\right]$ ?

(2) ¿Puede un pre-pre-Schreier anillo contienen nilpotents $\neq 0$ ? Yo solía pensar que me han demostrado que no se puede si es Noetherian, pero ahora veo defectos en mi argumento.

Answer 1

Esta es una respuesta a su pregunta entre paréntesis:

Hay una lógica de primer orden de la fórmula que es equivalente a UFD siempre, no importa si el anillo es Noetherian o no?

No. De hecho, si T es cualquier extensión de la de primer orden de teoría de la integral de dominios que todo modelo de T es un UFD, entonces todo modelo de T es un campo.

Creo que esto es bien conocido, pero yo no podía pensar en una referencia. Voy a esbozar una prueba rápida. Vamos φ_n(x) es el estándar de primer orden de la fórmula que dice que x es un producto de n elementos irreductibles (y φ₀(x) se dice que x es una unidad). Sostenemos que para algunos fijos n,

T ⊦ ∀x (x ≠ 0 → φ₀(x) ∨ ... ∨ f_n(x)).

Si no, por el Teorema de Compacidad, T tiene un modelo de R con un distinguido distinto de cero el elemento x tal que R ⊧ φ_n(x) para cada n; de modo que x no tiene una factorización en irreducibles. Para concluir, muestran que cada UFD que se cumple ∀x (x ≠ 0 → φ₀(x) ∨ ... ∨ f_n(x)) debe ser un campo.