La clase de todos los números ordinales $\mathbf{Ord}$, a un lado ser una clase apropiada, se puede pensar en un número ordinal (por supuesto contiene todos los números ordinales que son juegos, no sí mismo). Entonces uno podría considerar $\mathbf{Ord}+1$, $\mathbf{Ord}+\mathbf{Ord}$, $\mathbf{Ord} \cdot \mathbf{Ord}$ y así sucesivamente. ¿Hace esta extensión de números ordinales/es interesante? ¿Tal vez fue descrita por alguien? ¿Podría ir más profundo - para crear una "superclase" de todos los ordinales que son las clases?
Respuestas
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Sí. Esto es estudiado por un conjunto de teóricos e interesante. Personalmente considero que algunas de las preguntas relacionadas a continuación sumamente interesante, conectado con algunos muy profundos interrogantes acerca de la naturaleza de la matemática de la existencia.
Mientras que el término "ordinal" se utiliza generalmente para referirse a objetos que son conjuntos, uno puede, no obstante, considerar las relaciones de clase que están bien ordenadas. Por ejemplo, es fácil definir una relación de ORDEN que tiene el tipo de la orden ORD+1; uno puede hacer el pedido tipo ORD+ORD mediante la definición de una relación que pone a todos incluso los ordinales antes de todos los impares ordinales, y así sucesivamente. Se puede conseguir en un largo camino con este método, el pasado ORD^ORD, ORD^ORD^ORD, y así sucesivamente, simplemente definiendo más complicado el orden de las relaciones en ORD. El sabor aquí es algo así como la manera en que uno considera computable bien ordenada de las relaciones en los números naturales, y define la clase de computable ordinales. La analogía es, de hecho, muy fuerte, para el supremum de la computables ordinales se conoce como ω1CK, pronunciado "omega 1 Iglesia Kleene", y este es precisamente el más mínimo admisible ordinal, lo que significa que el nivel correspondiente de la edificable universo satisface la Kripke-Platek los axiomas de la teoría de conjuntos, un débil fragmento de ZFC.
Del mismo modo, para la situación con la definibles clase bien ordenada de las relaciones en ORD, si uno mira la correspondiente (edificable) universo de los conjuntos que surge de estas super-ordinales, también puede ser admisible. Otra forma de describir la situación es que los modelos de ZFC puede extender a los modelos de KP, añadiendo precisamente los conjuntos en la parte superior codificado por una clase bien fundada relación en ORD.
La pregunta que se avecina en el fondo aquí, es la medida en que cada modelo de la teoría de conjuntos es un segmento inicial de un mucho más alto modelo de la teoría de conjuntos. Podemos extender cada modelo de ZFC a un segmento inicial de un taller modelo de ZFC? De ZFC-? De KP?
Parte de la respuesta es que cada modelo de Kelly-Morse teoría surge similares a los de esta manera. Es decir, cada modelo de KM es el V_alpha de un modelo de ZFC-. (Edit: lo que uno puede necesitar técnicas adicionales hipótesis aquí.) Tal vez esto es parte de la razón por la que Kelly-Morse de la teoría de conjuntos es poco estudiado en la teoría de conjuntos, pues no se reduce a ZFC en este camino. Tener un modelo de KM es simplemente para tener un modelo de ZFC que es el V_alpha de un modelo de ZFC-.
Otra parte de la respuesta es que cada contables computably saturado modelo de ZFC es precisamente el V_alpha de otro modelo de ZFC, a la que externamente es isomorfo. En particular, cada modelo de ZFC es (externamente) isomorfo a un rango del segmento inicial de la misma.
Otra parte de la respuesta es que cada modelo de ZFC elementarily incrusta en otro modelo, que es el V_alpha de un mucho más alto modelo. Esto puede ser probado por un fácil compacidad argumento. Dado un modelo M de ZFC, anote la teoría consistente de ZFC+la escuela primaria, el diagrama de M, relativizada a V_delta, en el idioma con un adicional de constante delta. Esta teoría es finitely realizado por M mismo, en la cuenta de la Reflexión Teorema, y por lo que tiene un modelo de N. El modelo original M incrusta en V_delta^N debido a la primaria diagrama, entonces N es como se desee.
Por último, tenga en cuenta que si M tiene la propiedad de que es el punto de sabios definibles (cada objeto es definible en M sin parámetros), y definitivamente hay tales modelos de ZFC si hay alguno, entonces M no puede ser el V_alpha de cualquier modelo N de ZFC, ya que N reconocería que M es pointwise definible, y por lo tanto N sólo tendría countably muchos de reales, una contradicción.
Permítanme señalar que Harry observación (ahora aparentemente eliminado) acerca de Grothendieck universos asciende a un caso especial de la pregunta que me plantean, donde sólo se considera transitiva modelos de la teoría de conjuntos, bajo el supuesto de que hay una clase adecuada inaccesibles de cardenales (que es el equivalente al Universo axioma). En este caso, es evidente que cada modelo transitivo de la teoría de conjuntos se extiende a uno de los V_kappa, para kappa inaccesible anteriormente, y esto es esencialmente lo que él observó. Pero, en realidad, uno no necesita esta fuerza a la conclusión, ya que el gran cardenal de la consistencia de la fuerza de la afirmación de que cada transtive conjunto es un elemento de un mayor transitiva modelo de la teoría de conjuntos es estrictamente más débil que incluso un cardinal inaccesible, y mucho menos una clase adecuada de ellos.
brianbaligad
Puntos
328
De acuerdo a Kanamori, Reinhardt trabajado en la ampliación de los ordinales más allá de la altura de el universo. Kanamori habla de esto en El Más Infinito, página 313, donde se cita la siguiente referencia de su bibliografía.
Reinhardt, William N. Observaciones sobre la reflexión de los principios, los grandes cardenales, de primaria y de incrustaciones, páginas 189-205
Jech, Thomas J. (ed.), La Teoría De Conjuntos Axiomática. Actas de Simposios en Matemática Pura, vol. 13, parte 2. La Providencia, Sociedad Matemática Americana De 1974.
