Probar que f es medible si g es medible donde $g(x, y) = |f(x) - f(y)|$

Question

Necesito ayuda para la comprensión de la prueba de esta pregunta. Básicamente se trata del teorema de Fubini y me parece que no puede conseguir un asimiento en la prueba (y estoy bastante seguro de que esta pregunta utiliza técnicas de la prueba). La pregunta es la siguiente:

Suponga $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ es medible y definir $g: [0, 1]^2 \rightarrow \mathbb{R}$$g(x, y) := |f(x) - f(y)|$. Demostrar que $f$ es integrable si y sólo si $g$ es integrable.

Prueba. El sector de $g$, $g_x(y) = |f(x) - f(y)|$ es integrable iff $h(y) = f(x) - f(y)$ es integrable y $h(y)$ es integrable iff $f$ es integrable. $(*)$

Ahora, suponga $g$ es integrable. Si $g$ es integrable, entonces por el teorema de Fubini, la rebanada $g_x$ es integrable para casi todos los $x$. Si el sector es integrable, a continuación, $(*)$ muestra que $f$ es integrable.

Ahora suponga $f$ es integrable. Luego de nuevo por $(*)$ $g_x$ es integrable $\forall x$. También, $$\int f - |f(x) \leq \int |f(x) - f(y)| dy \leq |f(x)| + \int f \qquad (**)$$

A continuación, la función de $\alpha(x) = \int |f(x) - f(y)| dy$ es limitado y medibles y por lo tanto integrable en $[0, 1]$. Por Fubini nos ha $\int g = \int \int |f(x) - f(y)| dy dx = \int \alpha(x) dx$ por lo tanto $g$ es integrable.

Ahora mi pregunta(s) son:

• ¿Cómo $(*)$? Parece intuitivo que me afirman que pero alguien puede explicarme por qué ese es el caso?
• En la dirección de avance (suponiendo que f es la verdad), ¿cómo puede la afirmación de que $g_x$ ser integrable presionado para TODO x?
• Y donde es el $(**)$ proviene?

Answer 1

Para el primer punto, supongamos primero que $f(y)$ es integrable, entonces $h(y)$ es integrable porque es la diferencia de dos funciones integrables (tenga en cuenta que $f(x)$ es una constante w.r.t. $y$ y constantes son integrables desde $[0,1]$ tiene medida finita). Por el contrario, si $h(y)$ es integrable, entonces $f(y)=h(y)+f(x)$ es integrable, porque es la suma de dos funciones integrables.

Para el segundo punto, si $f$ es integrable, a continuación, $h(y)$ es integrable para cada $x$ (por lo que hemos mostrado antes), de modo que $g_x(y)$ es integrable para cada $x$.

El tercer punto de la siguiente manera a partir de mookid la respuesta, pero es necesario sustituir $\int f$$\int |f|$.

Answer 2

• Dos primeros puntos provienen de la caracterización: $$ f\text {es mensurable} \iff \forall c: \ {x:f(x) < \}\text c {es mensurable} $$
• el último de ellos viene de la desigualdad $$ | f(y) | -| f (x) | \le |f(y) - f (x) | \le | f(y) | + | f (x) | $$