Cómo probar la fórmula de Euler: $e^{it}=\cos t +i\sin t$?

Question

Podría proporcionar una prueba de la fórmula de Euler: $e^{it}=\cos t +i\sin t$ ?

gracias.

Answer 1

Prueba: Considere la función $f(t) = e^{-it}(\cos t + i \sin t)$$t \in \mathbb{R}$. Por el cociente de la regla \begin{eqnarray} f^{\prime}(t) = e^{-i t}(i \cos t - \sin t) - i e^{-i t}(\cos t + i \sin t) = 0 \end{eqnarray} de forma idéntica para todos los $t \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, $f$ es constante en todas partes. Desde $f(0) = 1$, se deduce que el $f(t) = 1$ de forma idéntica. Por lo tanto, $e^{it} = \cos t + i \sin t$ todos los $t \in \mathbb{R}$, como se reivindica.

Answer 2

Suponiendo que te refieres a $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, es una forma de utilizar la serie de MacLaurin para el seno y coseno, que se sabe que convergen para todos los verdaderos $x$ en el primer año de cálculo el contexto, y la serie de MacLaurin para $e^z$, confiando en que converge para puro imaginario $z$ dado que este resultado requiere un análisis complejo.

La serie de MacLaurin: \begin{align} \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \\\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \\\\ e^z&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \end{align}

Sustituto $z=ix$ en el último de la serie: \begin{align} e^{ix}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots \\\\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots \\\\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \\\\ &=\cos x+i\sin x \end{align}

Answer 3

Deje $\mathbf{A}$ $n \times n$ matriz. Recordar que el sistema de ecuaciones diferenciales

$$\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$$

tiene la solución única $\mathbf{x} = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0)$ donde $\mathbf{x}$ es un vector de valores de función derivable y $e^{\mathbf{A}t}$ denota la matriz exponencial. En particular, vamos a $\mathbf{J} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right]$. Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales

$$x' = y, y' = -x$$

con las condiciones iniciales $x(0) = 1, y(0) = 0$ tiene la solución única $\left[ \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right] = e^{\mathbf{J}t} \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array} \right]$. Por otro lado, las ecuaciones anteriores nos dicen que $x'' = -x$$y'' = -y$, y sabemos que las soluciones a esta ecuación diferencial son de la forma $a \cos t + b \sin t$ para las constantes $a, b$. Por la coincidencia de las condiciones iniciales en verdad nos encontramos con que $x = \cos t, y = \sin t$. Ahora compruebe que, en la multiplicación de vectores por $\mathbf{J}$ tiene el mismo efecto como la multiplicación de un número complejo por $i$, y obtener la fórmula de Euler.

Esta prueba tiene las siguientes atractivos interpretación física: una partícula cuya $x$ - $y$- coordenadas satisfacen $x' = y, y' = -x$ tiene la propiedad de que su velocidad es siempre perpendicular a y tiene magnitud proporcional a su desplazamiento. Pero a partir de las clases de física, usted sabe que este único y describe las partículas que se mueven en un círculo.

Otra forma de interpretar esta prueba es como una descripción de la exponencial mapa de la Mentira álgebra $\mathbb{R}$ a la Mentira de grupo $\text{SO}(2)$. La fórmula de Euler se generaliza a cuaterniones, y esto a su vez puede ser pensado como describir el mapa exponencial de la Mentira de álgebra $\mathbb{R}^3$ (con el producto cruzado) a $\text{SU}(2)$ (que pueden ser enviados a $\text{SO}(3)$). Es por esta razón que es conveniente el uso de cuaterniones para describir en 3-d de las rotaciones en los gráficos de ordenador; el mapa exponencial hace que sea fácil para interpolar entre dos rotaciones.

Edit: whuber la respuesta me recordó de las siguientes gráficas excelentes.

Esto es lo que está sucediendo geométricamente en whuber la respuesta, y es esencialmente lo que sucede si se aplica de Euler método para el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias he descrito anteriormente. Cada paso es un complot de los poderes de la $1 + \frac{i}{N}$ $N^{th}$ de la energía.

Answer 4

SUGERENCIA $\:$ $\:\rm e^{ix}\:$ $\:\rm cos(x) + i \; sin(x) \:$ son soluciones de $\;\rm y' = i \; y,\;\; y(0) = 1, \;$, por lo que son iguales por el teorema de unicidad. Alternativamente, bisecar en pares e impares partes el poder de la serie para $\:\rm e^{ix} \:,\;$ es decir

$$\begin{align} \rm f(x) \ \ &=\ \ \rm\frac{f(x)+f(-x)}{2} \;+\; \frac{f(x)-f(-x)}{2} \\ \\ \Rightarrow\quad\quad \rm e^{ix} \ \ &=\ \ \rm\cos(x) \ +\ i \:\sin(x) \end{align}$$

OBSERVACIONES 1.$\;$ Los teoremas de singularidad proporcionan herramientas poderosas para probar las igualdades para las funciones que satisfagan ciertas agradable diferencial o diferencia (repetición) de las ecuaciones. Esto incluye una gran mayoría de las funciones encontradas en la teoría y la práctica. Tales ideas están detrás de los algoritmos implementados en sistemas de álgebra computacional, por ejemplo, búsqueda el cómputo de la literatura utilizando los términos "D-finito" y/o "holonomic" funciones. De una forma menos trivial, pero aún fácil ejemplo de esta técnica, ver mi post reciente que demuestra la identidad

$$\rm \frac{sinh^{-1}(x)}{\sqrt{x^2+1}} \ = \ \ \sum_{k=0}^\infty\ (-1)^k \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \: x^{2k+1}$$

Para un simple discretos ejemplo ver mi post aquí donde yo observación de que la $\rm\; 13 \:|\: 3^{n+1} + 4^{2n-1} =: f_n \;$ sigue de $\;\rm f_2 = f_1 = 0 \;$ y el (obvio) el hecho de que $\;\rm f_n \;$ satisface una monic de 2º orden lineal de recurrencia. Es decir, vamos a $\;\rm S\; f_n := f_{n+1} \;$ ser el operador de desplazamiento. A continuación, $\;\rm S - 3 \;$ mata a $\rm\; 3^{n+1} \;$ $\;\rm S - 16 \;$ mata a $\;\rm 4^{2n-1} \;$ por lo tanto $\;\rm (S-3)\:(S-16) = S^2 - 19\: S + 48 \;$ mata a su suma $\;\rm f_n \:,\;$ es decir $\;\rm f_{n+2} = 19\; f_{n+1} - 48\; f_n\;$. Por lo tanto,$\:\rm mod\:13:\ f_2 = f_1 = 0 \;\Rightarrow\; f_3 = 19\: f_2 - 48\: f_1 = 0 \;\Rightarrow f_4 = 0 \Rightarrow f_5 = 0 \Rightarrow \cdots\Rightarrow\; f_n = 0\: $. Por lo tanto $\:0\:$ es la única solución de la recurrencia que satisface las condiciones iniciales $\;\rm f_2 = f_1 = 0. \;$ Esto es simplemente un evidente caso especial del teorema de unicidad para ecuaciones de diferencia (recurrencias). Una vez más, por la invocación de un teorema de unicidad, se han simplificado en gran medida de la deducción de una igualdad.

Observe que, anteriormente, no es necesario conocer con precisión la recurrencia de la relación. Más bien, sólo necesitamos saber un límite en su grado, así que sabemos cómo muchos de los términos iniciales son necesarios para determinar la solución única. En la práctica, como en el anterior, a menudo se puede derivar fácilmente simple límites superiores en el grado de la repetición o de la ecuación diferencial - que hace que el método más práctico.

2. $\;$ La generalización de la anterior interseccion en pares e impares partes, se puede emplear la n-esima raíces de la unidad para tomar arbitrario n-parte multisections de potencia de la serie y la generación de funciones. A menudo resultar útil, por ejemplo,

EJERCICIO $\;$ Dar elegante pruebas de la siguiente

$\quad\quad\rm\displaystyle sin(x)/e^{x} \quad\:$ cada $\rm 4k\;$'th término cero

$\quad\quad\rm\displaystyle cos(x)/e^{x} \quad$ cada $\rm 4k+2\;$'th término cero

Ver los posts en este hilo para las diversas soluciones y más en multisections.

Answer 5

Bien, esta pregunta se reduce a "¿Cómo es el complejo exponencial definida?"

Aquí está mi opinión acerca de este problema:

Vamos

$$f(x+iy)= e^{x}(\cos(y)+i\sin(y) ) \,.$$

A continuación, $f$ tiene derivadas parciales continuas $f_x$$f_y$, y verifica que el de Cauchy-Riemann ecuaciones, por lo tanto es analítico.

Además, para cualquier $z_1,z_2 \in {\mathbb C}$ hemos

$$f(z_1+z_2)=f(z_1) f(z_2) \,.$$

Por último, pero no menos $f(x)=e^x$ todos los $x \in {\mathbb R}$.

En particular, se demostró que la $e^x$ se puede extender a una analítica de la función compleja, y la teoría nos dice que la extensión es único.

Ahora, desde la $f(z)$ es el único de la analítica de la extensión de $e^x$ a del plano complejo, y también satisface la relación exponencial $f(z_1+z_2)=f(z_1) f(z_2)$, podemos llamar a esta función $e^z$.