Evaluar

Question

Yo estaba pensando en diferentes formas de encontrar $\pi$ y se tropezó con lo que estoy seguro de que es un método muy antiguo: la división de un círculo de radio $r$ a $n$ triángulos isósceles, cada uno con cara radial de la longitud de $r$ y el ángulo central $\theta=\frac{360^\circ}{n}$. El uso de $s$ para el lado opuesto $\theta$.

Entonces podemos aproximar la circunferencia como $sn$. Por la ley de los cosenos: $$s=\sqrt{2r^2-2r^2 \cos{\theta}}=r\sqrt{2-2\cos{\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}}$$

Sabemos $\pi=\text{circumference}/\text{diameter} \approx \frac{sn}{2r}=\frac{n}{2}\sqrt{2-2\cos\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}$. Esto se convierte en exacta en el límite: $$\pi=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\sqrt{2-2\cos\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}$$

Ahora mi pregunta: ¿Cómo se podría solucionar el problema opuesto? Para mi hacer un significado más claro, más arriba he utilizado la definición de $\pi$ a determinar un límite que le da su valor. Pero si yo acababa de recibir el límite, ¿qué técnica(s) se podría haber usado para determinar que se evalúa a $\pi$?

Answer 1

Aviso, $$\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\sqrt{2-2\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)}$ $ $$=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\sqrt{2\left(1-\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}$$ $$=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\sqrt{2\left(2\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)}$$ $$=\lim_{n\to \infty}\frac{2n}{2}\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ $$=\lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$$ $$=\pi\lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$ Let $\frac{\pi}{n}=t\implies t\to 0\ as\ n\to \infty$ $$=\pi \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}$$ $$=\pi\times 1=\pi$$

Answer 2

Puesto que ya eran dos respuestas sólidas que abordajes eficientes, pensé que sería instructivo para ver un camino diferente.

Aquí, utilizamos la expansión del coseno como

$$\cos x=1-\frac12 x^2+O(x^4) \tag 1$$

Que $x=2\pi/n$ $(1)$ producciones

$$2-2\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right)=\frac{4\pi^2}{n^2} +O(n^{-4})$$

Finalmente, se han

$$\begin{align} \frac{n}{2}\sqrt{2-2\cos \left(\frac{2\pi}{n}\right)}&=\frac n2 \sqrt{\frac{4\pi^2}{n^2} +O(n^{-4})}\\\\ &=\frac n2 \frac{2\pi}{n}\left(1+O(n^{-2})\right)\\\\ &=\pi+O(n^{-3})\to \pi \end {Alinee el} $$

como era de esperar!

Answer 3

$$\sqrt{2-2\cos x}=2\left|\sin\frac{x}{2}\right|$ $ por lo tanto todo se reduce a: $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$ $