Principales cadenas con grandes lagunas

Question

Es bien sabido que la brecha entre los consecutivos de los números primos es infinito. Es este siendo cierto para una cadena de números primos consecutivos ?

Más Formalmente : Sea la siguiente declaración verdadera para todos los números naturales m y n ?

Hay m consecutivos de números primos $a_1,...,a_m$ , de tal manera que todos los espacios son mayores que n (esto quiere decir $a_{k+1}-a_k>n$ para todos los k con 1 <= k <= m-1) ?

También he oído acerca de los números primos en progresiones aritméticas, pero siempre me he preguntado si los números primos deben ser consecutivos en tales progresiones.

Puede cualquiera de las propiedades conocidas de los prime-números de ayuda para responder a esta pregunta ?

Answer 1

Sí, este es conocido. Se siente un poco como aplastar una mosca con un B-52, pero hay un hermoso teorema de Shiu (Cadenas de Primos Congruentes, 2000), que parece cubrir todo lo que quieras. Una consecuencia directa es que para cualquier $n,m$ los siguientes es verdadera:

Hay $m$ consecutivos de números primos $a_1,\ldots,a_m$ que son todos congruentes a $1$ mod $n$.

Así que no sólo son las brechas entre estos primos de, al menos,$n$, pero todos ellos se encuentran en un determinado progresión aritmética. (Es importante no confundir esto con $a_1,\ldots,a_m$ la formación de una progresión aritmética: un resultado de tal fuerza que todavía no se conoce.)