En la métrica de Arakelov en la construcción de la Kawazumi-Zhang invariante

Question

Para una superficie de Riemann compacta $\Sigma$ de género $h\geq 1$, el Kawazumi-Zhang invariante se define como,

$$\varphi(\Sigma) = \sum_{\ell >0}\frac{2}{\lambda_\ell} \sum_{m,n=1}^h \bigg\vert \int_\Sigma \phi_\ell \omega_m \wedge \bar \omega_n\bigg\vert^2$$

donde tenemos $\Delta_\Sigma \phi_\ell = \lambda_\ell \phi_\ell$ $\{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ formulario de una base ortonormales de holomorphic formas en $\Sigma$ y se destacó $\Delta_\Sigma$ es con respecto a la Arakelov métrica en $\Sigma$.

Hay otras formas equivalentes de expresar el invariante, que puede ser más adecuado para explícita de la computación. Para hiperbólica de las superficies de Riemann de cierto género, también puede estar relacionado directamente con la Faltings invariante. Sin embargo, muchos confían en esta noción de un Arakelov métrica, y como teórico de cuerdas, no he profundizado en Arakelov teoría.

Como tal, les agradecería mucho si alguien pudiera aclarar lo que el Arakelov métrica es, tal vez de forma explícita para un colector determinado, dada esta parece ser la única cosa de Arakelov teoría que necesita para ser capaz de calcular $\varphi(\Sigma)$.

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Para los curiosos, la motivación es que la integración de $\varphi(\Sigma)$ sobre el espacio de moduli de superficies de Riemann de género $h= 2$ surge en la evaluación de una amplitud en el tipo II la teoría de cuerdas.

Answer 1

El Arakelov métrica es dada por el canónica 1-1 forma $\mu_{\Sigma}=\frac{i}{2h}\sum_{i=1}^h \omega_i\wedge \overline{\omega_i}$ para una base $\omega_1,\dots,\omega_h$ de 1-formas de $\Sigma$. Se define un Greeen función de $G_{\Sigma}\colon \Sigma^2\to \mathbb{R}_{\ge0}$, que es único por

(i) $G^2$ $C^\infty$ $\Sigma^2$

(ii) $\partial_x \overline{\partial}_x \log G(x,y)^2=2\pi i (\mu_{\Sigma}(x)-\delta_y(x))$

(iii) $\int_{\Sigma} \log G(x,y)\mu_{\Sigma}(x)=0$

Esta función $G$ define una métrica en el paquete de $\mathscr{O}_{\Sigma^2}(\Delta)$ de la diagonal divisor $\Delta\subseteq\Sigma^2$. Denotar $h_{\Delta}=\mathrm{curv}(\mathscr{O}_{\Sigma^2}(\Delta))$ para la curvatura de esta metrized paquete. Eso significa que tenemos $\partial_{\Sigma^2}\overline{\partial}_{\Sigma^2} \log G(x,y)^2=2\pi i (h_{\Delta}(x,y)-\delta_{\Delta}(x,y))$. Entonces Zhang-Kawazumi invariante puede ser dada por $$\varphi(\Sigma)=\int_{\Sigma^2}(\log G) h_{\Delta}^2.$$

Permítanme resaltar que el de Zhang-Kawazumi invariante puede estar relacionado con la Faltings invariante para cualquier superficie de Riemann compacta de cualquier género $h$ por la igualdad $$\delta_{Fal}(\Sigma)-2\varphi(\Sigma)=-24\int_{\mathrm{Pic}_{h-1}(\Sigma)}\log\|\theta\|\frac{\nu^h}{h!}-8h\log 2\pi,$$ donde $\|\theta\|$ es la norma de la definición de la integral de la theta de la función y $\nu$ es el Kähler forma de la Hodge métrica en $\mathrm{Pic}_{h-1}(\Sigma)$, ver mi artículo http://link.springer.com/article/10.1007/s00222-016-0713-1, donde también se puede encontrar otras fórmulas para $\varphi(\Sigma)$ sólo en términos de integrales de $\|\theta\|$.